求证矩阵C=[a b; b a]的特征向量及对应特征值求解咨询

别担心，我来一步步拆解这个问题，其实只要抓住特征向量与特征值的核心定义就很简单：若对于矩阵$C$，存在非零向量$\boldsymbol{v}$和标量$\lambda$，满足公式：
C\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}
则$\boldsymbol{v}$是$C$的特征向量，$\lambda$就是对应的特征值。接下来我们就用这个定义验证题目中的两个向量。

一、验证$\boldsymbol{v_1} = \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix}$是特征向量并求特征值 #

计算矩阵$C$与$\boldsymbol{v_1}$的乘积：
$$
C\boldsymbol{v_1} = \begin{bmatrix}a & b \ b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a \times 1 + b \times 1 \ b \times 1 + a \times 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a+b \ a+b\end{bmatrix}
$$
把结果整理一下，就能看到：
$$
\begin{bmatrix}a+b \ a+b\end{bmatrix} = (a+b)\begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix} = (a+b)\boldsymbol{v_1}
$$
这完全符合特征值的定义式，这里的$\lambda_1 = a+b$，所以$\boldsymbol{v_1}$确实是$C$的特征向量，对应的特征值就是$a+b$。

二、验证$\boldsymbol{v_2} = \begin{bmatrix}1 \ -1\end{bmatrix}$是特征向量并求特征值 #

同样地，计算$C$和$\boldsymbol{v_2}$的乘积：
$$
C\boldsymbol{v_2} = \begin{bmatrix}a & b \ b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a \times 1 + b \times (-1) \ b \times 1 + a \times (-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a-b \ b-a\end{bmatrix}
$$
注意到$b-a = -(a-b)$，我们可以把结果改写为：
$$
\begin{bmatrix}a-b \ -(a-b)\end{bmatrix} = (a-b)\begin{bmatrix}1 \ -1\end{bmatrix} = (a-b)\boldsymbol{v_2}
$$
对比定义式，这里的$\lambda_2 = a-b$，满足C\boldsymbol{v_2} = \lambda_2\boldsymbol{v_2}，所以$\boldsymbol{v_2}$也是$C$的特征向量，对应特征值为$a-b$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elena