奇素数p使(p²-1)/8为偶、奇数的条件咨询与求证

让我们一步步拆解你的两个问题，结合奇素数的性质来推导：

情况1：$\frac{p^2-1}{8}$为偶数 #

首先，已知$\frac{p^2-1}{8}=2m$，等价于$(p-1)(p+1)=16m$。

因为p是奇素数，所以p是奇数，那么$p-1$和$p+1$是两个相差2的连续偶数：其中一个是$2 \pmod{4}$（仅含1个因子2），另一个是$0 \pmod{4}$（至少含2个因子2）。要让它们的乘积被16整除（即含4个因子2），那个$0 \pmod{4}$的数必须额外再含1个因子2，也就是：

• 若$p-1$是$0 \pmod{8}$，则$p \equiv 1 \pmod{8}$；
• 若$p+1$是$0 \pmod{8}$，则$p \equiv -1 \equiv 7 \pmod{8}$。

所以这个情况确实得出$p \equiv 1 \pmod{8}$或$p \equiv -1 \pmod{8}$。

情况2：$\frac{p^2-1}{8}$为奇数 #

已知$\frac{p^2-1}{8}=2m+1$，等价于$(p-1)(p+1)=8(2m+1)$，也就是乘积是8乘以一个奇数（仅含3个因子2）。

同样，$p-1$和$p+1$是连续偶数，一个含1个因子2，另一个含2个因子2，两者乘积正好是$2^3 \times 奇数$，符合要求。这时候对应的同余情况是：

• 若$p-1$是$2 \times 奇数$（即$p-1 \equiv 2 \pmod{4}$），则$p+1$是$4 \times 奇数$（即$p+1 \equiv 4 \pmod{8}$），推导得$p \equiv 3 \pmod{8}$；
• 若$p+1$是$2 \times 奇数$（即$p+1 \equiv 2 \pmod{4}$），则$p-1$是$4 \times 奇数$（即$p-1 \equiv 4 \pmod{8}$），推导得$p \equiv 5 \pmod{8}$。

显然这个情况不能得出$p \equiv 1 \pmod{8}$或$p \equiv -1 \pmod{8}$，正确的同余条件是$p \equiv 3 \pmod{8}$或$p \equiv 5 \pmod{8}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user529392