泊松分布期望求解：已知X~Poisson(0.5)，求E[(X+1)!]

嘿，我来帮你理顺这个问题！你已经掌握了泊松分布的核心基础，卡在阶乘部分很正常，咱们一步步拆解推导：

首先明确泊松分布的定义：若随机变量 ( X \sim \text{Poisson}(\lambda) )，它的概率质量函数为：
[ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots ]

我们的目标是计算 ( E[(X+1)!] )，根据期望的定义，它等于所有可能取值的加权和：
[ E[(X+1)!] = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)! \cdot P(X=k) ]

步骤1：化简求和项 #

把概率质量函数代入表达式，先处理阶乘部分的约分：
[ (k+1)! \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = (k+1) \cdot e^{-\lambda} \lambda^k ]
因为 ( (k+1)! = (k+1) \cdot k! )，所以 ( \frac{(k+1)!}{k!} = k+1 )，这一步是关键的简化。

此时期望表达式可以改写为：
[ E[(X+1)!] = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \lambda^k ]

步骤2：计算幂级数求和 #

现在需要解决的是幂级数 ( S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \lambda^k ) 的求和问题，这是一个经典的导数应用场景：

我们知道，当 ( |\lambda| < 1 ) 时，几何级数的和为：
[ \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^k = \frac{1}{1-\lambda} ]

对等式两边关于 ( \lambda ) 求导：
[ \frac{d}{d\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^k = \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{1}{1-\lambda} \right) ]
左边求导后正好得到 ( \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \lambda^k )，右边求导结果是 ( \frac{1}{(1-\lambda)^2} )。

所以最终得到：
[ S = \frac{1}{(1-\lambda)^2}, \quad |\lambda| < 1 ]

步骤3：代入得到最终结果 #

把 ( S ) 代回期望表达式，就有：
[ E[(X+1)!] = \frac{e^{{-\lambda}}{(1-\lambda)}2} ]

重要注意事项 #

• 这个结果仅在 ( 0 < \lambda < 1 ) 时成立。当 ( \lambda \geq 1 ) 时，幂级数 ( \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\lambda^k ) 会发散，意味着 ( E[(X+1)!] ) 不存在（期望为无穷大）。

举个实际例子验证：当 ( \lambda=0.5 ) 时，计算得 ( E[(X+1)!] = \frac{e^{{-0.5}}{(1-0.5)}2} \approx 2.426 )，和逐项累加前若干项的结果趋势完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user163580