单射线性变换T:V→U与满射线性变换S:U→W，S∘T是否为同构？

API 探路者

2026-5-19

问题解答：复合线性变换$S \circ T$是否为同构映射？

结论：不一定成立。同构映射要求同时是单射和满射的线性变换（有限维空间下还等价于定义域与陪域维数相等），但仅$T$单射、$S$满射的条件，无法保证复合变换满足这两个核心性质。下面从性质分析和具体反例两方面展开：

1. 复合变换未必满足单射性

单射的定义是：若$S \circ T(v_1) = S \circ T(v_2)$，则必有$v_1 = v_2$。

$T$是单射意味着：若$T(v_1)=T(v_2)$则$v_1=v_2$，但$S$是满射不代表$S$是单射（满射仅保证$S$的值域覆盖整个$W$，不限制其零空间$\text{Ker}(S)$的大小）。
如果$\text{Ker}(S)$与$T$的值域$\text{Im}(T)$存在非平凡交集（即存在非零元素$u \in \text{Im}(T) \cap \text{Ker}(S)$），那么存在$v \neq 0$使得$T(v)=u$，此时$S \circ T(v)=S(u)=0 = S \circ T(0)$，但$v \neq 0$，这就说明$S \circ T$不是单射。

满射的定义是：对任意$w \in W$，存在$v \in V$使得$S \circ T(v)=w$。

$S$是满射意味着：对任意$w \in W$，存在$u \in U$使得$S(u)=w$，但$\text{Im}(T)$是$U$的子空间，如果$\text{Im}(T)$是$U$的真子空间，且$S$在$\text{Im}(T)$上的像无法覆盖整个$W$，那么复合变换的值域$S(\text{Im}(T))$就是$W$的真子空间，不满足满射要求。

我们用有限维实向量空间构造直观反例：

设：

$V = \mathbb{R}^1$（一维实向量空间），$U = \mathbb{R}^2$（二维实向量空间），$W = \mathbb{R}^1$（一维实向量空间）
单射$T: V \to U$：$T(x) = (0, x)$，其值域是$U$中第二个分量非零的子空间，$\text{Ker}(T)={0}$，满足单射定义
满射$S: U \to W$：$S(a, b) = a$，这是投影到第一个分量的变换，对任意$y \in \mathbb{R}^1$，取$(y,0) \in U$即可得到$S(y,0)=y$，满足满射定义
复合变换$S \circ T: V \to W$：$S \circ T(x) = S(0,x) = 0$，对所有$x \in V$，值域仅为${0}$，无法覆盖整个$W$，因此不是满射，自然不是同构。

设：

$V = \mathbb{R}^1$，$U = \mathbb{R}^2$，$W = \mathbb{R}^1$
单射$T: V \to U$：$T(x)=(x, x)$，$\text{Ker}(T)={0}$，满足单射定义
满射$S: U \to W$：$S(a,b)=a - b$，对任意$y \in \mathbb{R}^1$，取$(y,0) \in U$即可得到$S(y,0)=y$，满足满射定义
复合变换$S \circ T(x) = S(x,x) = x - x = 0$，对所有$x \in V$，所有元素都被映射到0，显然不是单射（比如$x=1 \neq 0$，但$S \circ T(1)=S \circ T(0)=0$），因此不是同构。

如果补充以下任一条件（有限维下等价），复合变换$S \circ T$会成为同构：

$\text{Im}(T)$是$\text{Ker}(S)$的补空间（即$U = \text{Im}(T) \oplus \text{Ker}(S)$），且$\dim(V)=\dim(W)$
$S$在$\text{Im}(T)$上的限制$S|_{\text{Im}(T)}: \text{Im}(T) \to W$是同构映射

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itored