如何证明给定集合上的关系R为等价关系？两类实例求解困惑

嘿，我来帮你一步步拆解这两个等价关系的验证问题～ 等价关系的核心就是要同时满足自反性、对称性、传递性三个性质，咱们逐个实例来分析，每个性质都用定义去套就行：

咱们逐个验证三个性质：

• 自反性：对任意 $x \in S$，$\gcd(x,x) = x$，而 $S$ 里的元素都是大于1的自然数，所以 $\gcd(x,x) = x > 1$，显然 $(x,x) \in R$，自反性成立。
• 对称性：如果 $(x,y) \in R$，说明 $\gcd(x,y) > 1$，而最大公约数是对称的——$\gcd(x,y) = \gcd(y,x)$，所以 $\gcd(y,x) > 1$，即 $(y,x) \in R$，对称性也成立。
• 传递性：这里出问题了！传递性要求如果 $(x,y) \in R$ 且 $(y,z) \in R$，必须有 $(x,z) \in R$。但咱们可以举个反例：比如取 $x=2$，$y=6$，$z=3$。$\gcd(2,6)=2>1$，$\gcd(6,3)=3>1$，但 $\gcd(2,3)=1$，所以 $(2,3) \notin R$。这就违反了传递性，因此这个关系不是等价关系。

这个关系是符合等价关系的，咱们来验证：

• 自反性：对任意实数 $x$，取整数 $n=0$（因为 $2^0=1$），那么 $x=2^0 \cdot x$，满足关系定义，所以 $(x,x) \in R$，自反性成立。
• 对称性：如果 $(x,y) \in R$，说明存在某个整数 $n$ 使得 $x=2^n y$。两边同时乘以 $2^{-n}$（也就是除以 $2^n$），得到 $y=2^{-n}x$。因为 $n$ 是整数，$-n$ 也必然是整数，所以 $(y,x) \in R$，对称性成立。
• 传递性：假设 $(x,y) \in R$ 且 $(y,z) \in R$，那么存在整数 $n_1$ 和 $n_2$，使得 $x=2^{{n_1}y$，$y=2}{n_2}z$。把第二个式子代入第一个，得到 $x=2^{n_1} \cdot 2^{n_2} z = 2^{n_1 + n_2} z$。而 $n_1 + n_2$ 是两个整数相加，结果还是整数，所以 $(x,z) \in R$，传递性成立。

三个性质全部满足，所以这个关系是 $\mathbb{R}$ 上的等价关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AFC