求证直线与平面平行：两平面交线的方向向量求解疑问

没问题，我来一步步帮你拆解这个问题：

第一步：确定两个平面的法向量 #

直线L₁是平面$\pi_1: 2x - z = 7$和$\pi_2: 2y + z = 9$的交线。对于平面方程$ax + by + cz = d$，它的法向量就是系数构成的向量$(a, b, c)$：

• 平面$\pi_1$的法向量 $\boldsymbol{n_1} = (2, 0, -1)$
• 平面$\pi_2$的法向量 $\boldsymbol{n_2} = (0, 2, 1)$

第二步：计算直线的方向向量 #

因为直线是两个平面的交线，它的方向向量必然同时垂直于两个平面的法向量（直线在两个平面内，所以和平面法向量垂直）。这种垂直的向量可以通过叉乘（向量积）来计算：
$$\boldsymbol{s} = \boldsymbol{n_1} \times \boldsymbol{n_2}$$

用行列式展开计算叉乘：

i  j  k
2  0 -1
0  2  1

计算过程：

• $i$分量：$0 \times 1 - (-1) \times 2 = 0 + 2 = 2$
• $j$分量：$-(2 \times 1 - (-1) \times 0) = -(2 - 0) = -2$
• $k$分量：$2 \times 2 - 0 \times 0 = 4 - 0 = 4$

所以方向向量$\boldsymbol{s} = (2, -2, 4)$，我们可以把它简化为$(1, -1, 2)$（方向向量可以缩放任意非零倍数，不影响方向）。

第三步：验证直线与目标平面平行 #

目标平面的方程是$3x - y - 2z = 18$，它的法向量$\boldsymbol{n} = (3, -1, -2)$。

根据直线与平面平行的判定条件：直线方向向量与平面法向量的点积为0，我们计算点积：
$$\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{n} = 1 \times 3 + (-1) \times (-1) + 2 \times (-2) = 3 + 1 - 4 = 0$$

点积为0，说明直线方向向量与平面法向量垂直，满足平行的条件。

额外补充：为了确认直线不是在平面内（而是真的平行），可以找直线上一个点代入平面方程验证。比如令$z=1$，代入直线的两个平面方程：

• $2x -1 =7 \implies x=4$
• $2y +1=9 \implies y=4$

得到点$(4,4,1)$，代入目标平面方程：$3\times4 -4 -2\times1 =12-4-2=6 \neq18$，说明直线不在平面内，确实是平行关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者shani21