有界加权上确界范数下随机变量族的一致可积性判定问询

先明确问题的前提条件：

• 设$g:\mathbf{X}\to\mathbb{R}_+$是定义在$\mathbf{X}\subseteq\mathbb{R}^d$上的正连续函数；
• 函数列$f_n:\mathbf{X}\to\mathbb{R}$（$n\in\mathbb{N}$）满足：对每个$n$，加权上确界范数$|f_n|g = \sup{x\in\mathbf{X}} \frac{|f_n(x)|}{g(x)} < \infty$；
• $Y$是取值于$\mathbf{X}$的可积随机变量。

问题核心：随机变量族$(f_n(Y))_{n\in\mathbb{N}}$是否一定一致可积？

答案是不一定，我们可以用一个非常直观的反例来证明：

反例构造 #

取一维空间的子集$\mathbf{X} = [1, +\infty)$，定义正连续函数$g(x) = x$。
对每个自然数$n$，定义函数$f_n(x) = n x$，此时计算加权范数：
$$|f_n|g = \sup{x\in[1,+\infty)} \frac{|n x|}{x} = n < \infty$$
显然每个$|f_n|_g$都是有限的，满足题目要求。

接下来取一个最简单的可积随机变量：$Y$恒等于1（即$Y$是常数随机变量，$E[Y] = 1 < \infty$，完全符合“可积”的条件）。此时$f_n(Y) = n \cdot 1 = n$，也就是这个随机变量族就是常数序列$(n)_{n\in\mathbb{N}}$。

验证不一致可积 #

根据一致可积的定义：如果一族随机变量一致可积，那么对任意给定的$\epsilon>0$，总能找到一个足够大的$M>0$，使得对所有$n$，都有
$$E\left[ |f_n(Y)| \cdot \mathbf{1}_{|f_n(Y)| > M} \right] < \epsilon$$

我们取$\epsilon=1$试试：不管你选多大的$M$，只要$n > M$，$|f_n(Y)|=n$就会大于$M$，此时对应的期望就是
$$E\left[ |f_n(Y)| \cdot \mathbf{1}_{|f_n(Y)| > M} \right] = E[n] = n > M \geq 1$$
这显然不满足一致可积的要求——无论$M$选多大，总有足够大的$n$让这个期望超过$\epsilon=1$。因此这个随机变量族是不一致可积的。

额外补充 #

如果题目加上一个额外条件：$\sup_{n\in\mathbb{N}} |f_n|_g < \infty$（也就是所有$f_n$的加权范数有统一的上界），同时$E[g(Y)] < \infty$（由$Y$可积和$g$的连续性通常可以推出，比如$g$是多项式增长的情况），那么此时$|f_n(Y)| \leq \sup_n |f_n|_g \cdot g(Y)$，就能推出$(f_n(Y))$是一致可积的。但题目里只要求每个$|f_n|_g$有限，没要求它们有界，所以没法保证一致可积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者iwanttolearn