计算指定二重求和式的值：求解遇阻寻求后续思路

你这步部分分式分解做得完全没问题，其实接下来只要把内层求和拆成两个独立的部分，用调和数来转化就能推进了，我一步步给你理清楚：

• 步骤1：拆分内层求和
  你已经得到了内层求和的分解式：
  $$\sum_{\upsilon=\mu+1}^n\left[\frac{2}{2\upsilon-1}-\frac{1}{\upsilon}\right] = 2\sum_{\upsilon=\mu+1}^n\frac{1}{2\upsilon-1} - \sum_{\upsilon=\mu+1}^n\frac{1}{\upsilon}$$
  我们分别处理这两个求和项。

• 步骤2：用调和数表示普通倒数求和
  对于第二个求和项，直接用第$n$个调和数$H_n = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$，它的差就是：
  $$\sum_{\upsilon=\mu+1}^n\frac{1}{\upsilon} = H_n - H_\mu$$

• 步骤3：处理奇数项倒数求和
  第一个求和项是奇数项的倒数和，我们定义奇数项调和数$H_n^{(odd)} = 1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2n-1}$，它和普通调和数有个简洁的关系：
  $$H_n^{(odd)} = H_{2n} - \frac{1}{2}H_n$$
  而$\sum_{\upsilon=\mu+1}^n\frac{1}{2\upsilon-1}$是从$2\mu+1$到$2n-1$的奇数项倒数和，也就是两个奇数项调和数的差：
  $$\sum_{\upsilon=\mu+1}^n\frac{1}{2\upsilon-1} = H_n^{(odd)} - H_\mu^{(odd)} = \left(H_{2n}-\frac{1}{2}H_n\right) - \left(H_{2\mu}-\frac{1}{2}H_\mu\right)$$

• 步骤4：化简内层求和
  把上面两个结果代回内层求和，展开后可以合并同类项：
  $$
  \begin{align*}
  2\left[\left(H_{2n}-\frac{1}{2}H_n\right)-\left(H_{2\mu}-\frac{1}{2}H_\mu\right)\right] - (H_n - H_\mu) &= 2H_{2n} - H_n - 2H_{2\mu} + H_\mu - H_n + H_\mu \
  &= 2\left[(H_{2n}-H_n) - (H_{2\mu}-H_\mu)\right]
  \end{align*}
  $$
  这里可以令$C_k = H_{2k}-H_k$（它代表从$k+1$到$2k$的倒数和），这样内层求和就简化为$\mu^2 \cdot 2(C_n - C_\mu)$。

• 步骤5：展开二重求和并计算已知项
  现在把二重求和展开：
  $$
  \sum_{\mu=1}^{n\sum_{\upsilon=\mu+1}}n\frac{\mu^2}{\nu(2\nu-1)} = 2\sum_{\mu=1}^n\mu2(C_n - C_\mu) = 2C_n\sum_{\mu=1}^n\mu2 - 2\sum_{\mu=1}^n\mu2C_\mu
  $$
  其中平方和的公式是已知的：
  $$\sum_{\mu=1}^n\mu2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
  代入后第一项就变成：
  $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}(H_{2n}-H_n)$$

• 步骤6：处理剩余的求和项
  对于$\sum_{\mu=1}^n\mu2C_\mu$，我们可以把$C_\mu=H_{2\mu}-H_\mu$拆成两个求和：
  $$\sum_{\mu=1}^n\mu2C_\mu = \sum_{\mu=1}^n\mu2H_{2\mu} - \sum_{\mu=1}^n\mu2H_\mu$$
  其中$\sum_{\mu=1}^n\mu2H_\mu$有现成的公式：
  $$\sum_{\mu=1}^n\mu2H_\mu = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}H_n - \frac{n(n+1)(n-1)}{12}$$
  对于$\sum_{\mu=1}^n\mu2H_{2\mu}$，可以通过交换求和顺序来计算：
  $$\sum_{\mu=1}^n\mu2H_{2\mu} = \sum_{\mu=1}^n\mu2H_\mu + \sum_{k=2}^{2n}\frac{1}{k}\sum_{\mu=\lceil k/2\rceil}^{{\min(k-1,n)}\mu}2$$
  对$k$分$2\leq k\leq n$和$n+1\leq k\leq2n$两个区间，用平方和公式计算内层的$\mu^2$求和即可。

• 最终结果
  把所有部分整合后，就能得到用调和数$H_n$、$H_{2n}$以及多项式表示的最终结果。如果不需要完全展开为多项式，保留调和数的形式已经是非常简洁的表达式了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial