为何需引入附着点（adherent point）概念？与极限点的关联疑问

先快速回顾下两个核心概念，避免混淆：

• 附着点（acc pt）：对于集合X，若点p的每个邻域都包含X中的至少一个点（这个点可以是p本身），则p是X的附着点。
• 极限点（lim pt）：对于集合X，若点p的每个邻域都包含X中异于p的至少一个点，则p是X的极限点。

你提到闭集可以用两种方式定义：包含所有附着点，或者包含所有极限点——但这里其实有个容易忽略的细节：用极限点定义闭集时，还必须额外说明闭集包含它的所有孤立点（因为孤立点是附着点，但不是极限点）。而附着点的概念直接把孤立点和极限点都涵盖进去了，这只是它有用的原因之一。

下面具体说说为什么我们还需要附着点：

1. 闭集定义更简洁统一 #

用极限点定义闭集时，你得说“闭集包含所有极限点，且包含所有属于自身的孤立点”——因为孤立点的邻域里只有它自己属于集合X，不符合极限点的“异于自身”要求，但它确实是附着点。而用附着点的话，只需要一句话：闭集是包含所有自身附着点的集合，不需要额外补充条件，逻辑上更简洁自洽。

2. 适配更广泛的拓扑空间场景 #

在一些特殊的拓扑空间里，极限点的概念会“失效”，但附着点依然能正常发挥作用。比如离散拓扑（每个单点集都是开集）中，所有点都是孤立点，不存在任何极限点，但每个点都是自己的附着点。这时候用附着点才能准确描述闭集（离散拓扑里所有集合都是闭集，因为它们都包含自己的所有附着点），如果只用极限点的话，根本无法解释这个场景。

3. 统一描述收敛性的多种情况 #

当我们讨论序列收敛时，附着点能覆盖更多特殊情况。比如常序列（所有项都是同一个点p），它的值域是{p}，p不是这个值域的极限点（因为邻域里没有异于p的点属于值域），但p确实是值域的附着点。用附着点可以统一描述所有收敛序列的极限性质，不需要为常序列这种特殊情况单独调整定义。

4. 拓扑概念的逻辑构建更合理 #

从概念的层级来说，附着点是更基础的概念——极限点其实可以被定义为“不是孤立点的附着点”。先定义附着点，再导出极限点，符合从一般到特殊的认知逻辑，也让整个拓扑体系的构建更清晰、更有条理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者glimpser