探究ℤ₃₀中的素理想并验证素理想判定条件

嘿，你的例子完全恰当！我们来一步步把这个问题理清楚，帮你把素理想的判定逻辑捋顺～

首先，你对素理想的定义理解是准确的：环$R$的真理想$P$（也就是$P \neq R$）是素理想，当且仅当对任意$a,b \in R$，若$ab \in P$，则$a \in P$或$b \in P$。

先验证你提到的两个理想 #

• 关于$(1)$：它确实不是素理想，因为$(1)$就是整个环ℤ₃₀，不符合素理想必须是真理想的要求，这点你说的没错。
• 关于$(0)$：你举的例子$a=2$、$b=15$太合适了！在ℤ₃₀中，$2 \times 15 = 30 \equiv 0 \pmod{30}$，也就是$ab \in (0)$，但$2 \not\equiv 0 \pmod{30}$、$15 \not\equiv 0 \pmod{30}$，完全满足素理想定义的反面——存在$a,b$使得$ab \in P$但$a,b$都不在$P$里，所以$(0)$确实不是ℤ₃₀的素理想。

快速找到ℤ₃₀中所有素理想的方法 #

因为ℤ是主理想整环，所以ℤ₃₀ = ℤ/(30)的所有理想都是主理想，对应30的正因子生成的理想：$(0),(2),(3),(5),(6),(10),(15),(30)=(1)$。

而根据环的理想对应定理：ℤ₃₀的素理想对应ℤ中包含$(30)$的素理想。ℤ中的素理想是由素数$p$生成的$(p)$，要包含$(30)$就意味着$p$整除30，也就是$p=2,3,5$。

所以ℤ₃₀的素理想就是：

• (2)：由2生成的理想，包含所有偶数模30的元素
• (3)：由3生成的理想，包含所有3的倍数模30的元素
• (5)：由5生成的理想，包含所有5的倍数模30的元素

你可以随便验证其中一个，比如(3)：如果$ab \in (3)$，说明$ab \equiv 0 \pmod{30}$且$ab$是3的倍数，那么$a$或$b$至少有一个是3的倍数，也就是$a \in (3)$或$b \in (3)$，符合素理想的定义，而且它是真理想（1不在里面），所以确实是素理想。

补充一个小结论 #

对于ℤₙ来说，$(0)$是素理想当且仅当$n$是素数——因为此时ℤₙ是域，域的零理想是素理想（同时也是极大理想）。但30是合数，所以$(0)$自然不是素理想，你的例子完美印证了这一点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inazuma