不可数个几乎必然事件的交是否仍为几乎必然事件？

好问题！先直接给结论：不可数个几乎必然事件的交不一定是几乎必然事件，甚至可能是概率为0的事件。

先回顾可数情况的逻辑 #

你提到可数个几乎必然事件的交是几乎必然事件，这个结论用德摩根定律很容易证：假设${A_n}{n=1}^{\infty$是可数个几乎必然事件，即`P(Aₙ)=1`对所有$n$成立。根据德摩根定律，$\left(\bigcap_{n=1}}\infty A_n\right)^c = \bigcup{n=1}^\infty A_n^c$。由于每个P(Aₙ^c)=0，而概率的可数可加性告诉我们，可数个概率为0的事件的并的概率也是0，所以P((∩Aₙ)^c)=0，从而P(∩Aₙ)=1，即交是几乎必然事件。

不可数情况的反例 #

但不可数的情况就不成立了，我们可以构造一个简单的反例：
考虑概率空间$([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \lambda)$，其中$\lambda$是[0,1]上的勒贝格测度（也就是我们日常说的“长度”，概率等于区间长度）。

• 对每个$x \in [0,1]$，定义事件$A_x = [0,1] \setminus {x}$。显然每个$A_x$都是几乎必然事件，因为单点集${x}$的勒贝格测度为0，所以P(Aₓ)=λ([0,1]\{x})=1。
• 现在看这些事件的交：$\bigcap_{x \in [0,1]} A_x = [0,1] \setminus \bigcup_{x \in [0,1]} {x} = \emptyset$（空集）。而空集的概率P(∅)=0，完全不是几乎必然事件。

为什么不可数情况不成立？ #

核心原因是概率测度只满足可数可加性，不满足不可数可加性。德摩根定律对不可数集合运算依然成立：$\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right)^c = \bigcup_{i \in I} A_i^c$（$I$是不可数指标集），但此时右边是不可数个概率为0的事件的并。我们只知道可数个0的并的概率是0，但不可数个0的并的概率可能不为0（甚至可能是1），反过来就导致原交事件的概率可能为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者master_goon