如何证明当k→∞时，k×0.25^(2^(k+2)-2^k)→0？

你前面的推导完全没问题，我们先把那几步清晰列出来：

$$
\begin{align*}
k\times0.25^{2{k+2}-2^k} &=k\frac{0.25^{2{k+2}}}{0.25^{2k}}\
&= k \frac{({0.25^{2k}})^4}{{0.25{2^k}}}\
&=k(0.25^{2k})^3
\end{align*}
$$

接下来要证明当$k \to +\infty$时，$k(0.25^{2k})^3 \to 0$，核心就是要说明指数衰减的速度远远超过多项式增长的速度，这里给你两种简单直观的验证方法：

方法一：取对数分析趋势 #

我们对表达式取自然对数，观察k趋向无穷时的变化：
$$
\ln\left(k(0.25^{2k})^3\right) = \ln k + 3 \cdot \ln\left(0.25^{2k}\right) = \ln k + 3 \cdot 2^k \cdot \ln 0.25
$$
注意到$\ln 0.25 = \ln(1/4) = -\ln 4 < 0$，而$2^k$是指数级增长的，$\ln k$只是对数级增长——指数增长的速度比对数增长快得多，所以当k足够大时，$3 \cdot 2^k \cdot \ln 0.25$的绝对值会远远超过$\ln k$，整个对数表达式会趋向$-\infty$。

因为$\ln x \to -\infty$等价于$x \to 0^{+$，所以原表达式$k(0.25}{2^k})3$趋向0。

方法二：换元后用经典极限结论 #

令$t = 2^k$，当$k \to +\infty$时，$t \to +\infty$，同时$k = \log_2 t$，原表达式可以改写为：
$$
\log_2 t \cdot (0.25^t)3 = \log_2 t \cdot (0.25³⁾t = \log_2 t \cdot (1/64)^t
$$
我们有一个经典结论：对于任意$a > 1$，$\frac{\log t}{a^t} \to 0$当$t \to +\infty$——本质就是指数增长的速度会完全碾压对数增长。这里$64 > 1$，所以$\frac{\log_2 t}{64^t} \to 0$，原表达式自然趋向0。

你的猜测完全正确：$(0.25^{2k})^{3$是**双重指数衰减**（指数上还有$2}k$），这种衰减速度比任何多项式增长（比如k、k²甚至kⁿ）都要快得多，所以两者相乘的结果最终会趋向0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者badmax