细菌种群增长速率数学问题求解及验算请求

我来帮你一步步梳理并验算这道细菌增长的数学应用题，咱们按问题逐个分析：

问题(a)：求$t$小时后细菌数量的表达式 #

因为增长速率与种群自身规模成正比，这是典型的指数增长模型，所以我们先设定种群数量函数：
$$P(t) = P_0 \cdot e^{kt}$$
其中$P_0$是初始细胞数，$k$为增长常数，$t$是时间（单位：小时）。

已知初始条件$P(0) = 100$，代入函数可得$P_0 = 100$，因此函数简化为：
$$P(t) = 100 \cdot e^{kt}$$
接下来利用$t=1$小时时种群数量为420的条件求$k$：
将$t=1$、$P(1)=420$代入上式：
$$420 = 100 \cdot e^{k}$$
两边同时除以100：
$$4.2 = e^k$$
对两边取自然对数，得到：
$$k = \ln(4.2) \approx 1.435$$
因此，$t$小时后细菌数量的最终表达式可以写成两种等价形式：
$$P(t) = 100 \cdot e^{\ln(4.2) \cdot t} = 100 \cdot (4.2)^t$$

问题(b)：求3小时后的细菌数量 #

直接将$t=3$代入我们得到的表达式即可：
用底数为4.2的形式计算更简便：
$$P(3) = 100 \cdot (4.2)^3$$
先计算$4.2^3 = 4.2 \times 4.2 \times 4.2 = 74.088$，因此：
$$P(3) = 100 \times 74.088 = 7408.8$$
因为细胞数量为整数，所以约为7409个。

问题(c)：求3小时后的增长速率 #

增长速率即种群数量函数的导数，或者根据题目条件“增长速率与自身规模成正比”，速率$r(t) = k \cdot P(t)$。

我们已经知道$k \approx 1.435$，$P(3) \approx 7408.8$，代入可得：
$$r(3) = 1.435 \times 7408.8 \approx 10632$$
也就是3小时后，细菌种群的增长速率约为10632个/小时。

问题(d)：求种群数量达到10,000个的时间 #

令$P(t) = 10000$，代入表达式求解$t$：
$$10000 = 100 \cdot (4.2)^t$$
两边除以100：
$$100 = (4.2)^t$$
对两边取自然对数：
$$\ln(100) = t \cdot \ln(4.2)$$
整理得：
$$t = \frac{\ln(100)}{\ln(4.2)} \approx \frac{4.605}{1.435} \approx 3.21$$
也就是说，种群数量达到10000个大约需要3.21小时（或约3小时13分钟）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622