关于《物理学家的拓扑与几何》中Morse引理证明细节的问询

Hey there! 太懂这种感觉了——整体推导看着顺，但某一处细节突然卡壳，就像拼图卡了个小碎片一样难受。我当年啃Morse引理的时候，也在坐标选取后的推导步骤上纠结过好久，尤其是物理学家写的书有时候会跳过一些分析学的严谨细节，直接往几何结论上走。

先把你给出的设定用更清晰的方式列出来，方便我们聚焦问题：

• 设 $f: M \to \mathbb{R}$ 是光滑流形 $M$ 上的光滑实值映射
• $0$（这里应该是指坐标原点对应的M上的点吧？）是 $f$ 的非退化临界点——换句话说，$f$ 在该点的Hessian矩阵是可逆的，没有零特征值
• 已经选取了局部坐标 $(x_1, ..., x_n)$，满足的表达式你没写完（应该是类似泰勒展开的形式？比如 $f(x) = f(0) + \frac{1}{2}\sum_{i,j} H_{ij}x_i x_j + o(|x|^2)$ 这类？）

你提到对这部分的推导逻辑有疑问，麻烦把没写完的公式补充完整，或者具体说说卡在哪一步：

• 是卡在从泰勒展开到构造光滑坐标变换的过程？
• 还是对“为什么能把高阶项全部吸收进新坐标”这一点存疑？
• 或是验证坐标变换的光滑可逆性时没搞懂？

补充这些细节后，我们就能精准拆解这个卡壳的点啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dan1618