微积分II二维粒子运动问题求解：确定t=1时粒子位置

嘿，你之前计算积分常数的时候出错啦，让我们一步步重新梳理这个问题的解法：

1. 推导x方向的位置函数
   已知x方向的速度$x'(t) = t + 1$，对其做不定积分得到x(t)的表达式：
   $$x(t) = \int (t + 1) dt = \frac{1}{2}t^2 + t + C$$
   这里的C是积分常数，需要用初始条件确定：题目说t=0时粒子位于$(1, 0)$，也就是$x(0)=1$，代入上式：
   $$1 = \frac{1}{2} \times 0^2 + 0 + C$$
   很明显C=1，所以正确的x(t)是：
   $$x(t) = \frac{1}{2}t^2 + t + 1$$

2. 计算t=1时的x坐标
   把t=1代入x(t)：
   $$x(1) = \frac{1}{2} \times 1^2 + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

3. 计算对应的y坐标
   因为粒子始终沿曲线$y = \ln(x)$运动，所以t=1时的y坐标就是x(1)对应的对数值：
   $$y(1) = \ln\left(\frac{5}{2}\right)$$

最终，t=1时粒子所在的位置是$\boldsymbol{\left( \frac{5}{2}, \ln\frac{5}{2} \right)}$（如果需要小数近似的话，大概是$(2.5, 0.916)$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Giovanni