特征0域上循环K[G]-模的线性对偶是否为K[G]-循环模？

咱们先明确所有已知条件：G是有限群，K是特征0的域，M是自由且有限生成的K-模，同时作为左K[G]-模是循环的（也就是说存在某个元素$m∈M$，使得整个M可以表示为K[G]中元素对m的作用生成的集合：$M = K[G]·m$）。M的对偶模$M^* = \text{Hom}_K(M, K)$的左K[G]-模结构定义为：对任意$g∈G$、$f∈M^*$、$x∈M$，有$(g·f)(x) = f(g^{-1}·x)$——这个定义是标准的，用来保证左模的运算相容性。

接下来咱们证明$M^*$作为左K[G]-模也是循环的，分几个角度来说：

1. 利用半单代数的性质（特征0的核心作用） #

因为K的特征为0且G有限，根据Maschke定理，群代数K[G]是半单代数。半单代数的核心性质是：所有有限生成模都是半单的（即可分解为不可约模的直和），而且每个不可约模的对偶模仍然是不可约的。

对于循环模M来说，它作为半单代数上的有限生成模，必然可以分解为若干不可约K[G]-模的直和：$M = \bigoplus_{i=1}^n V_i$，其中每个$V_i$都是不可约模。那么它的对偶模就是这些不可约模对偶的直和：$M^* = \bigoplus_{i=1}^n V_i^{*$，每个$V_i}*$同样是不可约K[G]-模。

而循环半单模的等价判定条件是：对于每个不可约模V，V在M中的重数不超过V在正则表示K[G]中的重数（正则表示中每个不可约模V的重数等于$\text{dim}_K V$）。由于K[G]是对称代数（特征0下有限群代数都是对称代数，存在非退化的迹函数实现代数与其对偶的双模同构），不可约模V的对偶$V^{*$在正则表示中的重数和V本身的重数完全相同。因此$M}$中每个不可约成分的重数也满足循环模的判定条件，所以$M^$是循环模。

2. 直接构造生成元的方法 #

咱们可以更具体地构造出$M^$的生成元：
已知M是循环模，取它的生成元$m∈M$。由于M是自由K-模，我们总能找到一个线性映射$f_0∈M^$，使得$f_0(m)≠0$（比如取M的一组K-基，让$f_0$在对应m的基元上取值为1，其他基元上取值为0）。

现在证明：$M^* = K[G]·f_0$，也就是任意$f∈M^$都能写成K[G]中某个元素对$f_0$的作用。
对于任意$f∈M^$，构造元素$h = \sum_{g∈G} f(g·m) · g ∈ K[G]$。咱们验证$(h·f_0)(x) = f(x)$对所有$x∈M$成立：
因为M中任意元素x都可以写成$x = \sum_{g∈G} a_g · g·m$（$a_g∈K$），所以：
$$
(h·f_0)(x) = f_0(h^{-1}·x) = f_0\left( \left( \sum_{g∈G} f(g·m) g \right)^{-1} · \sum_{h∈G} a_h h·m \right)
$$
由于$h^{-1} = \sum_{g∈G} f(g·m) g^{-1}$，代入后展开：
$$
= f_0\left( \sum_{g,h∈G} f(g·m)a_h · g^{-1}h·m \right) = \sum_{g,h∈G} f(g·m)a_h · f_0(g^{-1}h·m)
$$
注意到当且仅当$g^{-1}h = e$（即$h=g$）时，$g^{-1}h·m = m$，此时$f_0(g^{-1}h·m)=f_0(m)≠0$；而我们可以选择$f_0$满足$f_0(g·m)=0$当$g≠e$（因为M是自由K-模，这样的线性映射存在），所以上面的求和式就简化为：
$$
\sum_{g∈G} f(g·m)a_g = f\left( \sum_{g∈G} a_g g·m \right) = f(x)
$$
这就说明$h·f_0 = f$，也就是说任意$f∈M^{*$都属于$K[G]·f_0$，因此$M}*$是循环左K[G]-模。

补充说明 #

这里特征0的条件是必不可少的：如果K的特征整除G的阶，Maschke定理不再成立，K[G]不是半单代数，此时循环模的对偶模不一定是循环模。比如当G是p阶循环群、K是特征p的域时，K[G]是局部代数，循环模的对偶模结构就会和特征0的情况有很大差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者V. Blioch