咨询特定级数的敛散性判别方法：积分与比较判别法选哪个

嘿，针对你给出的这个级数：
$$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(ln(n+1)+n)^a}{ln2(n)}, a>1 $$
其实不用纠结积分判别法，**比较判别法（甚至更基础的级数收敛必要条件）**就能快速得出结论，咱们一步步理清楚：

• 先观察通项的量级：当n趋向于无穷大时，$\ln(n+1)$的增长速度远远慢于n，属于$o(n)$（小o记号，表示$\ln(n+1)$相对于n可以忽略），因此$(ln(n+1)+n)^a$和$na$是等价无穷大，即$(ln(n+1)+n)^a \sim n^a$。
• 基于此，通项可近似为$\frac{n^a}{\ln2 n}$。因为$a>1$，$n^{a$的增长速度远快于$\ln}2 n$，所以当$n \to \infty$时，$\frac{n^a}{\ln2 n}$会趋向于正无穷，完全不满足级数收敛的必要条件（收敛级数的通项必须趋向于0），直接就能判断级数发散。
• 如果用比较判别法验证的话，我们可以找一个明显发散的级数对比：比如取$v_n = n$，当n足够大时，$\frac{(ln(n+1)+n)^a}{\ln2 n} > n$，而$\sum_{n=2}^\infty n$显然发散，根据比较判别法的规则，通项更大的级数必然也发散。

至于积分判别法，这里完全没必要用——它更适合通项单调递减且容易积分的正项级数，但这个级数的通项本身趋向于无穷大，连积分判别法的前提（通项单调趋向于0）都不满足，用起来反而绕弯路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mike