关于五次多项式P_k非实根实部与最近整数距离下界的验证问询

先明确问题背景：设$k\geq 2$为整数，多项式$P_k=X^5-X-k5+k+1$显然恰有一个实根，另外还有两对共轭的非实复根。

核心疑问如下：

若$\alpha_k + i \beta_k$是$P_k$的任意非实根，是否有$\lbrace \lbrace \alpha_k \rbrace \rbrace \geq \frac{1}{23k}$？这里的$\lbrace \lbrace \cdot \rbrace \rbrace$表示到最近整数的距离。

我自己已经验证了$2 \leq k \leq 10^4$区间内的所有情况，结果都满足上述不等式。目前我的初步思路是：可以证明$\alpha_k$的极小多项式是10次的，或许能从这个性质出发进一步推导结论……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ewan Delanoy