使用反函数法则求arcsin(x)导数出错，求错误原因

嘿芬恩，这个问题是初学反函数求导时非常容易踩的坑，咱们来拆解清楚问题出在哪：

你错在哪？ #

反函数求导法则的正确表达式不是你用的$({f^{-1}})'(x) = \dfrac{1}{f'(x)}$，而是：
$$({f^{-1}})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
核心区别是：分母是$f'$在反函数的输出值上的结果，而不是直接对x求导的$f'(x)$。

结合$\arcsin(x)$一步步推导 #

咱们重新用正确的法则推导一遍：

1. 令$f(y) = \sin(y)$，那么它的反函数就是$f^{-1}(x) = \arcsin(x)$，此时满足$x = \sin(y)$，其中$y = \arcsin(x)$。
2. 对$x = \sin(y)$两边关于x求导：左边导数是1，右边用链式法则得到$\cos(y) \cdot y'$。
3. 整理得：$y' = \dfrac{1}{\cos(y)}$，把$y = \arcsin(x)$代回去，就是：
   $$(\arcsin(x))' = \dfrac{1}{\cos(\arcsin(x))}$$

为什么小x时看起来“正确”？ #

当x很小时，$\arcsin(x) \approx x$（这是泰勒展开的一阶近似），此时$\cos(\arcsin(x)) \approx \cos(x)$，所以你得到的$1/\cos(x)$会和正确结果$1/\sqrt{1-x²}$近似相等，但这只是近似，不是精确结果。

化简得到最终正确导数 #

我们可以用三角恒等式把$\cos(\arcsin(x))$化简：
设$\theta = \arcsin(x)$，则$\sin\theta = x$，根据$\sin²\theta + \cos²\theta = 1$，且$\arcsin(x)$的值域是$[-\pi/2, \pi/2]$，这个区间内$\cos\theta$是非负的，所以：
$$\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin²\theta} = \sqrt{1 - x²}$$
因此$\arcsin(x)$的正确导数是：
$$(\arcsin(x))' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x²}}$$

总结 #

你忽略了反函数求导法则中，分母的导数是作用在反函数的输出上，而不是直接作用在x上，这才导致了错误的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Finn Eggers