已知离散随机变量X的分布律，求解P(|X|≥a)的疑问

嘿，我来帮你梳理这个问题的解法～首先咱们先解决核心问题：直接计算$P(|X| \geq a)$。

从你给出的X分布律：
$$X:\begin{pmatrix}-a&0&a\\frac{1}{2a^{2}&1-\frac{1}{a}2}&\frac{1}{2a^2}\end{pmatrix}$$
可以看到X的取值只有$-a$、$0$、$a$三种。满足$|X| \geq a$的情况只有$X=-a$和$X=a$（因为$|0|=0 < a$，不满足条件），所以直接把这两个取值对应的概率相加即可：
$$
P(|X| \geq a) = P(X=-a) + P(X=a) = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2a^2} = \frac{1}{a^2}
$$

关于马尔可夫不等式的思路验证 #

你提到想用马尔可夫不等式的思路完全没问题，咱们可以把这个过程补全：

首先计算$|X|$的期望$E(|X|)$：
$$
E(|X|) = \frac{1}{2a^2} \cdot |-a| + \left(1-\frac{1}{a^2}\right) \cdot |0| + \frac{1}{2a^2} \cdot |a| = \frac{1}{2a^2} \cdot a + 0 + \frac{1}{2a^2} \cdot a = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} = \frac{1}{a}
$$

针对$|X|$的马尔可夫不等式形式为：
$$P(|X| \geq a) \leq \frac{E(|X|)}{a}$$
代入咱们算出的$E(|X|)=\frac{1}{a}$，可得：
$$P(|X| \geq a) \leq \frac{1/a}{a} = \frac{1}{a^2}$$
刚好和直接计算的结果相等，这说明在这个问题中马尔可夫不等式取到了等号，也反过来验证了咱们直接计算的结果是正确的～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者eyesima