若A和C均为上三角矩阵且AB=C，B必为上三角矩阵吗？

嘿，这个问题问得很到位——答案是不一定。咱们用实际例子和逻辑拆解来把这事说清楚：

先看反例，直接打破“必为上三角”的假设 #

假设A是一个奇异的上三角矩阵（行列式为0，不可逆），比如：

A = [[1, 1],
     [0, 0]]

这是标准的上三角矩阵，主对角线下方全是0。现在找一个非上三角的矩阵B：

B = [[0, 0],
     [1, 1]]

B的左下角元素是1，明显不是上三角矩阵。咱们计算AB的结果：

AB = [[1*0 + 1*1, 1*0 + 1*1],
      [0*0 + 0*1, 0*0 + 0*1]] = [[1, 1],
                                 [0, 0]]

结果C就是A本身，完全符合上三角矩阵的定义。你看，这里A和C都是上三角，但B不是，直接证明了“B一定是上三角”的结论不成立。

再聊聊关键前提：A是否可逆 #

刚才的反例核心在于A是奇异的（不可逆），那如果A是可逆的上三角矩阵呢？情况就不一样了：

• 可逆上三角矩阵的主对角线元素全不为0，它的逆矩阵也是上三角矩阵。
• 此时我们可以对等式AB=C两边左乘A的逆，得到 B = A⁻¹C。
• 两个上三角矩阵相乘的结果还是上三角矩阵，所以这时候B确实是上三角的。

简单来说：只有当A是可逆的上三角矩阵时，B才一定是上三角；如果A不可逆，完全存在非上三角的B使得AB=C成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itored