分部积分法：∫ln(2x+1)dx求解疑问——换元法是否有误

嗨，我来帮你捋捋这个问题～首先可以明确：你用的u换元+分部积分的方法本身完全没问题，答案和课本/其他回答不同，大概率是因为常数项合并或者表达式化简形式的差异，而非方法错误。我给你一步步推导并对比说明：

具体推导步骤 #

1. u换元：令( u = 2x + 1 )，则( du = 2dx )，即( dx = \frac{du}{2} )，原积分转化为：

   ∫ln(2x+1)dx = ∫lnu · \frac{du}{2} = \frac{1}{2}∫lnu du
   

2. 分部积分：设( v = lnu )，( dw = du )，则( dv = \frac{1}{u}du )，( w = u )。根据分部积分公式( ∫v dw = vw - ∫w dv )，代入得：

   \frac{1}{2}∫lnu du = \frac{1}{2}\left( u lnu - ∫u·\frac{1}{u}du \right) = \frac{1}{2}\left( u lnu - ∫1 du \right)
   

3. 计算并回代：完成积分后把( u = 2x + 1 )代回去：

   \frac{1}{2}\left( (2x+1)ln(2x+1) - (2x+1) \right) + C
   

   展开后是：

   \frac{(2x+1)ln(2x+1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C
   

为什么和课本答案不同？ #

课本给出的答案可能是类似这样的形式：

\frac{(2x+1)ln(2x+1)}{2} - x + C'

这里的关键是：( -\frac{1}{2} + C )可以合并成一个新的常数项( C' )（因为不定积分的结果是一族相差常数的函数），所以两种形式本质上是等价的，都是正确的。

如果你的答案和其他回答的差异不是常数项，那可能是计算过程中某一步的符号或化简出错了，可以再检查一下分部积分的符号、回代时的展开步骤哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jose M Serra