域上向量空间线性映射原像子空间的性质证明求助

嘿，这个问题其实就是子空间判定规则的标准应用，咱们一步步拆解来证就很清晰啦～

首先先明确已知条件：

• V和W是域F上的向量空间
• T: V→W是线性映射
• W₀是W的子空间
• V₀的定义是：V₀ = {v∈V | T(v)∈W₀}

要证明一个集合是向量空间的子空间，只需要验证它满足三个核心条件：包含零向量、对加法封闭、对数乘封闭。咱们逐个来证：

1. 验证V₀包含V的零向量 #

因为T是线性映射，根据线性映射的性质，T把V的零向量映射到W的零向量，也就是：T(0_V) = 0_W。
而W₀是W的子空间，子空间必然包含所在空间的零向量，所以0_W ∈ W₀。
结合V₀的定义，0_V满足T(0_V)∈W₀，因此0_V ∈ V₀。

2. 验证V₀对加法封闭 #

任取两个向量v₁, v₂ ∈ V₀，根据V₀的定义，可得T(v₁) ∈ W₀且T(v₂) ∈ W₀。
因为T是线性映射，所以T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂)（线性映射的加法保持性）。
又因为W₀是子空间，子空间对加法封闭，所以T(v₁) + T(v₂) ∈ W₀。
这就意味着v₁ + v₂满足V₀的定义，即v₁ + v₂ ∈ V₀，加法封闭性得证。

3. 验证V₀对数乘封闭 #

任取向量v ∈ V₀，以及域F中的任意标量k ∈ F，根据V₀的定义，T(v) ∈ W₀。
因为T是线性映射，所以T(kv) = k·T(v)（线性映射的数乘保持性）。
W₀作为子空间，对数乘是封闭的，所以k·T(v) ∈ W₀。
由此可得kv满足V₀的定义，即kv ∈ V₀，数乘封闭性得证。

结论 #

既然V₀满足子空间的三个判定条件，那么V₀必然是V的子空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者anonymous9254