几何级数部分和公式推导疑问：分子为何是1-x^(n+1)

没问题，我来一步步拆解这个推导过程，帮你搞清楚分子为什么是$1 - x^{n+1}$～

步骤1：写出部分和的展开式 #

首先，我们把$S_n(x)$的定义展开写出来（注意$k$从0开始，第一项是$x^0=1$）：
Sₙ(x) = 1 + x + x² + x³ + ... + xⁿ

步骤2：给等式两边乘以$x$ #

这是推导的关键技巧——通过乘以公比$x$，让两个式子的项对齐，方便后续消元：
x·Sₙ(x) = x + x² + x³ + ... + xⁿ + x^(n+1)

步骤3：用原式减去乘$x$后的式子 #

现在把第一个式子减去第二个式子，左边提取公因子后是：
Sₙ(x) - x·Sₙ(x) = Sₙ(x)(1 - x)

右边逐项相减的话，中间的$x、x²、…、xⁿ$这些项会完全抵消，最后只剩下首尾两项：
(1 + x + x² + ... + xⁿ) - (x + x² + ... + xⁿ + x^(n+1)) = 1 - x^(n+1)

步骤4：整理得到最终公式 #

把左右两边结合起来，就有：
Sₙ(x)(1 - x) = 1 - x^(n+1)

当$x≠1$时（分母不能为0），两边同时除以$(1 - x)$，就得到了我们要的部分和公式：
Sₙ(x) = (1 - x^(n+1))/(1 - x)

额外补充：如果$x=1$，这个公式不适用，此时$S_n(x)$就是$n+1$个1相加，结果为$n+1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user431865