求含至少1个黄球与1个蓝球的子集选取方法数的数学解法

嘿，这个问题用容斥原理来拆解就一目了然了，我给你一步步理清楚：

首先，我们先明确核心逻辑：对于每种颜色的弹珠，它的选择方式是「选0颗、1颗…到全部」，所以每种颜色的可选方案数是「该颜色弹珠数量 + 1」。

第一步：计算所有可能的子集总数 #

总共有4种颜色，分别计算每种颜色的可选方案：

• 红色3颗：可选方案数 = 3 + 1 = 4种（0/1/2/3颗）
• 蓝色2颗：可选方案数 = 2 + 1 = 3种（0/1/2颗）
• 黄色4颗：可选方案数 = 4 + 1 = 5种（0/1/2/3/4颗）
• 白色1颗：可选方案数 = 1 + 1 = 2种（0/1颗）

所有子集的总数就是各颜色方案数相乘：
4 × 3 × 5 × 2 = 120 种（这里包含了空集，但不影响后续计算）

第二步：用容斥原理计算「不满足条件」的子集数 #

我们要找的是「至少1颗黄色 + 至少1颗蓝色」的子集，反过来就是排除掉「没有黄色」或者「没有蓝色」的子集（注意这里要避免重复排除既没有黄色也没有蓝色的情况）。

根据容斥原理：
不满足条件的子集数 = 没有黄色的子集数 + 没有蓝色的子集数 - 既没有黄色也没有蓝色的子集数

分别计算各部分：

1. 没有黄色的子集数：黄色只能选0颗，方案数为 4 × 3 × 1 × 2 = 24 种
2. 没有蓝色的子集数：蓝色只能选0颗，方案数为 4 × 1 × 5 × 2 = 40 种
3. 既没有黄色也没有蓝色的子集数：黄色和蓝色都选0颗，方案数为 4 × 1 × 1 × 2 = 8 种

代入公式得到不满足条件的总数：
24 + 40 - 8 = 56 种

第三步：计算满足条件的子集数 #

用总子集数减去不满足的数量：
120 - 56 = 64 种，正好和你给出的答案一致～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者frostpad