验证用麦克劳林级数前两项近似g(1/2)的误差小于1/200

咱们一步步来搞定这个误差估计的问题：

首先明确已知条件：函数$g$的麦克劳林级数是一个交错级数：
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx{2n+1}}{2n+3} = \frac{x}{3}-\frac{x^{3}{5}+\frac{x}5}{7}-\cdots$$
已经算出用前两项近似$g(1/2)$的结果是$\frac{17}{200}$，接下来要验证这个近似的误差上限。

步骤1：确认级数的交错级数属性 #

这个级数完全符合交错级数的收敛判定条件：

• 通项的绝对值$\frac{x^{2n+1}}{2n+3}$当$n\to\infty$时趋向于0（这里$x=1/2$，显然满足）
• 通项的绝对值序列是单调递减的（分母随$n$增大而增大，分子$(1/2)^{2n+1}$随$n$增大而减小，整体必然递减）

步骤2：套用交错级数误差估计定理 #

对于满足收敛条件的交错级数$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$（$a_n>0$且单调递减趋于0），有一个非常实用的误差估计规则：用前$k$项近似的误差绝对值，小于第$k+1$项的绝对值。

我们这里取了前两项（对应$n=0$和$n=1$），所以误差的绝对值必然小于第3项（$n=2$）的绝对值，计算这个项的绝对值：
$$\left|\frac{(-1)^2 \cdot (1/2)^{2\times2+1}}{2\times2+3}\right| = \frac{(1/2)^5}{7} = \frac{1}{32\times7} = \frac{1}{224}$$

步骤3：对比误差上限与目标值 #

因为$\frac{1}{224} < \frac{1}{200}$，所以直接就能得出结论：用前两项近似$g(1/2)$时，误差确实小于$\frac{1}{200}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Iced Palmer