求证：任意集合的内部为开集的严谨证明过程

让我们一步步拆解这个证明逻辑：

• 首先，从**内部（$\text{int}(S)$）**的定义入手：假设$S \subseteq \Bbb R$且$x \in \text{int}(S)$，根据内部的定义，必然存在某个正实数$r>0$，使得开球$B_r(x) \subseteq S$。
• 接着，利用已知结论：$\Bbb R$中的所有开球本身都是开集，因此这里的$B_r(x)$是开集。
• 然后，考察开球$B_r(x)$中的任意一点$y$：既然$B_r(x)$是开集，那么对于$y \in B_r(x)$，一定存在正实数$r_0>0$，使得$B_{r_0}(y) \subseteq B_r(x)$。结合之前的$B_r(x) \subseteq S$，可得$B_{r_0}(y) \subseteq S$，这完全符合$y \in \text{int}(S)$的定义。
• 最后，从集合的表示形式收尾：回忆内部的严格定义：

  $\text{int}(S) := {z\in S\mid\exists \varepsilon > 0: B_{\varepsilon}(z) \subseteq S}$
  这个定义等价于$\text{int}(S)$是所有满足条件的开球的并集，即$\text{int}(S) = \bigcup_{x\in \text{int}(S)} B_{\varepsilon_x}(x)$。而开集的任意并集仍然是开集，由此可直接得出$\text{int}(S)$是开集，推导完成。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tony Delgado