关于素数与素数间隙的一则猜想（已验证m≤100），恳请求证

我近期提出了一个关于素数模关系的推广猜想，并且已经完成了m≤100范围内的验证工作，具体内容如下：

猜想内容 #

对于所有自然数n>30，任意整数α∈ℤ以及所有μ=0,±1,±2，满足 m≡pₙ²+μpₙ+α (mod pₙ₊₁) 且 m<pₙ₊₁ 当且仅当 存在正整数k∈ℤ₊，使得 m=4k²-2μk +α。

背景关联 #

这个猜想是一个更基础素数问题的一般化形式：
原问题：“对于素数pₙ，若m≡pₙ² (mod pₙ₊₁)则m为平方数”

根据相关讨论，这个原问题和一则尚未被证明的素数间隙猜想存在关联。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lehs