阶为n!的群必含非平凡正规子群的证明验证（不用Sylow定理）

首先直接给出结论：这个证明存在明显的逻辑疏漏，是不正确的，下面具体拆解问题所在：

• 核心逻辑跳跃：未合理支撑“存在到Sₙ的非单同态”的论断
  原证明中提到“因G是有限群，存在到Sₙ的群同态”，但这个说法没有可靠依据。有限群的凯莱定理仅能保证G同构于S_{|G|}（也就是S_{n!}）的子群，而非直接嵌入到Sₙ中。除非G存在一个n元集合上的作用，否则无法直接得出G到Sₙ有同态，更不用说非单同态了。

• 反例直接推翻结论
  当n=5时，5!=120，而群PSL(2,9)的阶恰好也是120，它是一个单群（不存在非平凡正规子群），同时PSL(2,9)与S₅不同构。这个例子完全符合原证明中“G不与Sₙ同构”的前提，但G是单群的性质直接否定了原证明的结论。

• 第一种情况的表述存在小瑕疵
  原证明说“Aₙ的原像为G的非平凡正规子群”，当G≅Sₙ时，准确表述应该是Aₙ在同构映射下的像（而非原像）是G的非平凡正规子群，不过这属于次要的表述问题，核心错误还是前两点。

总结来说：原证明的关键错误在于无依据地假设了G到Sₙ存在非单同态，同时忽略了存在阶为n!的非Sₙ单群的情况，导致整个论证不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bartimäus von Uruk