寻求k-胞腔紧性的构造性替代证明（替代反证法）

我最近迷上了尝试直接证明那些通常靠反证法更容易搞定的命题，这不，就遇到了一个特别有意思的例子：

我完全理解Rudin在证明“每个k-胞腔是紧的”时用的方法——甚至觉得那个反证法证明相当优雅，但我还是特别想找到一个构造性的证明思路，而不是通过矛盾来推导。

先回顾下Rudin的反证法核心逻辑：

假设存在k-胞腔I的一个开覆盖，它不存在有限子覆盖，随后通过二分法推导矛盾。

而我现在想跳出这个框架：能不能直接针对任意k-胞腔的开覆盖，构造出它的有限子覆盖？希望能得到大家的思路和建议！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joe