n阶矩阵一行是另一行倍数时，能否用行最简形证其行列式为0？

咱们一步步拆解这个逻辑，就能明白为什么这个方法完全可行：

首先，先明确行初等变换对行列式的影响：

• 交换两行：行列式会变号，但不会改变它是否为0的性质（非零行列式变号后还是非零，零行列式还是零）
• 把某一行乘以非零常数：行列式会跟着乘以这个常数，但同样，只要原行列式不是0，变换后也不会是0；如果原行列式是0，变换后还是0
• 把某一行的倍数加到另一行：行列式的值保持不变

回到你的问题：假设n×n矩阵里第i行是第j行的k倍（k是某个常数）。我们可以做这样的行变换：用第i行减去k倍的第j行。根据上面第三条，这个变换不会改变原矩阵的行列式值。

做完这个变换后，第i行的每一个元素都会变成：原第i行元素 - k×原第j行元素 = k×原第j行元素 - k×原第j行元素 = 0，也就是这一行变成了全零行。

接下来把矩阵化为行最简形的过程，本质上就是一系列行初等变换的组合。而只要矩阵里出现了全零行，它的行最简形里必然会保留这个零行（后续的行变换不会把零行变成非零行）。

而我们知道，有全零行的方阵行列式一定是0——你可以按这个零行展开行列式，每一项都是0乘以对应的代数余子式，加起来自然就是0。结合之前行变换不改变行列式值的结论，原矩阵的行列式也必然是0。

这样就通过行最简形的零行，完美证明了原矩阵行列式为0的结论啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karen