利用泰勒公式证明不等式：求二元函数f(x,y)关于|x-y|的上界

咱们来一步步拆解这个问题：首先看定义在$(0,1)^2$上的正函数
$$f(x,y) = x \log\left(\frac{x}{y}\right) + (1-x) \log\left(\frac{1-x}{1-y}\right)$$
我们的目标是推导它关于$|x-y|$的上界，具体思路如下：

1. 构造单变量函数并求导 #

先固定$y$，把$f(x,y)$看作关于$x$的函数，记为$g(x) = f(x,y)$。对$g(x)$求一阶导数可得：
$$ g'(x) = - \log\left(\frac{1-x}{1-y}\right) + \log\left(\frac{x}{y}\right)$$
再求二阶导数，能得到一个更简洁的形式：
$$g''(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{(1-x)x}$$

2. 利用泰勒公式展开分析（当$x < y$时） #

当$x < y$时，我们在区间$[x,y]$上对$g(x)$应用泰勒公式，此时必然存在某个$\xi \in [x,y]$，后续就可以基于这个中间点$\xi$结合二阶导数的性质来推导上界啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Little Bird