链式法则对导数的刻画探究：满足链式性的算子是否为导数？

咱们先从经典的链式法则切入问题：

链式法则$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$对导数$(\ldots)'$的刻画程度如何？

换个更精确的表述方式：假设存在一个定义在全体可微函数上的非恒常算子$T$，它满足如下运算关系：
$$T(f\circ g)=((Tf)\circ g)\cdot T g,,$$
那我们是否可以直接推出这个算子$T$就是导数算子呢？

• 研究动机：我个人尤为关注如下延伸问题：当定义的算子关系形如
  $$(T(f\circ g))(x)=((Tf)(g(x)))^{(T g)(x)}\ldots$$
  时，会得到何种类型的算子？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carucel