求m∈ℕ\{0}、x∈ℝ时H(x)x^(m-1)/(m-1)!的m阶导数

已知$m \in \mathbb{N}^+$（正整数集不含0），$x \in \mathbb{R}$，$H(x)$是Heaviside阶跃函数，咱们用分布意义下的广义莱布尼茨公式一步步推导：

步骤1：应用广义莱布尼茨公式 #

对于两个函数乘积的m阶导数，广义莱布尼茨公式（分布意义下依然成立）为：
$$
\frac{d^m}{dxm}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \frac{d^{m-k}}{dx{m-k}}f(x) \cdot \frac{d^k}{dxk}g(x)
$$

这里令$f(x)=H(x)$，$g(x)=\frac{x^{m-1}}{(m-1)!}$，代入后得到：
$$
\frac{d^m}{dxm} \Big( H(x) \frac {x^{m-1}}{(m-1)!}\Big) = \sum_{k=0}^m \binom {m}{k} H^{(m-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x)
$$

步骤2：分析函数的导数性质 #

先明确两个核心性质：

• Heaviside函数的n阶导数（分布意义）：$H^{(n)}(x) = \delta^{{(n-1)}(x)$，其中$\delta}{(p)}(x)$是狄拉克δ函数的p阶导数；
• 多项式$g(x)=\frac{x^{m-1}}{(m-1)!}$的k阶导数：
  $$
  g^{(k)}(x) =
  \begin{cases}
  \frac{x^{m-1-k}}{(m-1-k)!}, & 0 \leq k \leq m-1 \
  0, & k = m
  \end{cases}
  $$

当$k=m$时，$g^{(m)}(x)=0$，该项直接消失，求和范围缩小到$k=0$到$k=m-1$：
$$
= \sum_{k=0}^{m-1} \binom {m}{k} \delta^{(m-k-1)}(x) \cdot \frac{x^{m-1-k}}{(m-1-k)!}
$$

步骤3：换元简化求和式 #

令$p = m-1-k$，则$k$从0到$m-1$对应$p$从$m-1$到0，求和式可改写为：
$$
= \sum_{p=0}^{m-1} \binom {m}{m-1-p} \delta^{(p)}(x) \cdot \frac{x^{p}}{p!}
$$

利用组合数性质$\binom{m}{m-1-p} = \binom{m}{p+1}$，代入后：
$$
= \sum_{p=0}^{m-1} \binom{m}{p+1} \cdot \frac{x^p}{p!} \delta^{(p)}(x)
$$

步骤4：利用δ函数导数的性质 #

分布论中有一个常用性质：$x^p \delta^{(p)}(x) = (-1)^p p! \delta(x)$，代入后可得$\frac{x^p}{p!} \delta^{(p)}(x) = (-1)^p \delta(x)$，因此式子简化为：
$$
= \sum_{p=0}^{m-1} (-1)^p \binom{m}{p+1} \delta(x)
$$

步骤5：用二项式定理求和 #

把求和指标换成$q=p+1$（即$q$从1到$m$），式子变为：
$$
= \sum_{q=1}^m (-1)^{q-1} \binom{m}{q} \delta(x)
$$

根据二项式定理，$\sum_{q=0}^m (-1)^q \binom{m}{q} = (1-1)^m = 0$，移项可得$\sum_{q=1}^m (-1)^q \binom{m}{q} = -1$，两边乘以$-1$后得到：
$$
\sum_{q=1}^m (-1)^{q-1} \binom{m}{q} = 1
$$

因此最终结果为：
$$
\boxed{\delta(x)}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Martingallo