射影丛的（上）同调群是否仅依赖底空间与纤维，与转移函数无关？

让我来一步步解答这两个关于射影丛上同调的问题吧，都是代数拓扑/代数几何里的经典问题~

答案是否定的。虽然射影丛的纤维都是$\mathbb{P}^n$（通常默认复射影空间，实射影空间的情况类似），底空间都是$X$，但射影丛的上同调还和它的整体丛结构密切相关——换句话说，和定义这个丛的转移函数（或者它对应的秩$n+1$向量丛的等价类）脱不开关系。

举个直观的例子：取底空间$X = \mathbb{CP}^{2$，考虑两个不同的$\mathbb{CP}}1$丛（纤维为$\mathbb{P}^1$）：

• 第一个是平凡丛$\mathbb{CP}^2 \times \mathbb{CP}^{1$，它的上同调环是$H}*(\mathbb{CP}^2, \mathbb{Z}) \otimes H^{*(\mathbb{CP}}1, \mathbb{Z})$，结构非常清晰，就是多项式环$\mathbb{Z}[a,b]/(a^3, b^{2)$，其中$a$是$\mathbb{CP}}2$上同调的生成元，$b$是$\mathbb{CP}^1$的生成元。
• 第二个是由$\mathbb{CP}^{2$上的非平凡秩2向量丛（比如切丛$T\mathbb{CP}}2$）射影化得到的$\mathbb{CP}^1$丛。根据Grothendieck的射影丛上同调定理，这个丛的上同调环会包含由相伴线丛$\mathcal{O}(1)$的陈类带来的额外关系，和平凡丛的上同调环结构完全不同——哪怕上同调群的秩（作为自由Abel群的大小）可能一致，但上同调类之间的乘积关系、甚至 torsion 性质都会有明显差异。

所以总结：射影丛的上同调不止依赖底空间和纤维，还取决于它的具体丛结构（转移函数/相伴向量丛的陈类）。

同样是否定的。刚才的例子已经能说明问题：还是$\mathbb{CP}^{2$上的平凡$\mathbb{CP}}1$丛和切丛射影化得到的$\mathbb{CP}^1$丛，它们的上同调群作为Abel群来说，秩可能相同，但如果考虑系数在非平凡群（比如$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$），或者更关键的上同调环的结构（这是上同调理论的核心部分之一），两者是完全不同的。

更本质的依据是Grothendieck的射影丛上同调公式：对于$\mathbb{P}^n$丛$\pi: P\to X$，它对应$X$上的一个秩$n+1$向量丛$E$（射影丛的等价类对应向量丛模去线丛张量的等价类），那么$P$的上同调环$H^(P, \mathbb{Z})$同构于：
$$H^(X, \mathbb{Z})[t]/(t^{n+1} + c_1(E)t^n + c_2(E)t^{n-1} + \dots + c_{n+1}(E))$$
其中$t$是相伴线丛$\mathcal{O}_P(1)$的第一陈类，$c_i(E)$是向量丛$E$的第$i$个陈类。

显然，不同的转移函数对应不同的向量丛$E$，它们的陈类$c_i(E)$可能不同，这直接导致$P$的上同调环结构不同——如果$E$有 torsion 陈类，$P$的上同调群还会出现 torsion，而平凡丛对应的射影丛上同调群是无 torsion 的（只要$X$的上同调无 torsion）。

所以结论是：$\mathbb{P}^n$丛的上同调群（尤其是作为环的结构，甚至群本身的 torsion 性质）依赖于转移函数，不是仅由$X$和$n$就能决定的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Akatsuki