基于Casorati–Weierstrass定理证明本质奇点的取值特性

首先明确要解决的问题：

设$f$是定义在$P=U(z_o,r) \setminus {z_o}$上的全纯函数，$z_o$处为本质奇点。需证明：存在$k \in \mathbb{C}$，使得对任意$\epsilon>0$，存在$x \in P \cap U(z_o,\epsilon)$满足$f(x)=k$。仅使用Casorati–Weierstrass定理，不使用Picard大定理。

证明过程：反证法 + 基础定理组合 #

咱们用反证法来推导，核心思路是假设结论不成立，然后导出和已知定理矛盾的结果：

• 步骤1：做出反证假设
  假设不存在这样的复数$k$，换句话说：对于每一个$k \in \mathbb{C}$，都存在一个对应的$\epsilon_k > 0$，使得$f$在$U(z_o, \epsilon_k) \cap P$中取不到$k$。也就是说，$f\left(U(z_o, \epsilon_k) \cap P\right)$和${k}$没有交集。

• 步骤2：构造邻域序列并调用开映射定理
  先构造围绕$z_o$的递减邻域序列：$U_n = U(z_o, 1/n) \cap P$（$n$为正整数）。因为$z_o$是$f$的本质奇点，$f$不可能是常数函数（常数函数的奇点是可去奇点），所以根据开映射定理，$f$会把$P$中的开集映射为$\mathbb{C}$中的开集，因此每个$f(U_n)$都是$\mathbb{C}$里的开集。

  同时，根据Casorati–Weierstrass定理，每个$f(U_n)$在$\mathbb{C}$中都是稠密的——这意味着$\mathbb{C}$里的任何开集都和$f(U_n)$相交，反过来讲，$\mathbb{C} \setminus f(U_n)$是无处稠密闭集（没有内点的闭集），否则如果它有内点，那这个内点所在的开圆盘就和$f(U_n)$不相交，直接违背稠密性。

• 步骤3：用Baire纲定理导出矛盾
  根据反证假设，每个复数$k$都属于某个$\mathbb{C} \setminus f(U_{n_k})$（其中$n_k$是满足$1/n_k < \epsilon_k$的正整数）。这意味着整个复平面$\mathbb{C}$可以被可数个无处稠密闭集覆盖：
  $$\mathbb{C} = \bigcup_{n=1}^\infty (\mathbb{C} \setminus f(U_n))$$

  但根据Baire纲定理，像$\mathbb{C}$这样的完备度量空间，是不能表示为可数个无处稠密集的并的。这就和我们的反证假设产生了直接矛盾！

• 步骤4：得出结论
  既然反证假设不成立，那原命题必然成立：存在$k \in \mathbb{C}$，使得对任意$\epsilon>0$，都能找到$x \in P \cap U(z_o,\epsilon)$满足$f(x)=k$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John P