有限维空间算子子空间性质证明求助：证E={0}或E=ℒ(V)

你已经走在正确的轨道上啦！我们接着你设定的基(v_1, v_2, \dots, v_n)（(\dim V = n)）把证明补全：

情况1：(E = {0}) #

这直接满足结论，无需额外推导。

情况2：(E \neq {0})，我们要证明(E = \mathcal{L}(V)) #

第一步：证明(E)中存在秩1算子 #

因为(E \neq {0})，取非零算子(T \in E)。由于(T)不是零算子，必然存在某个基向量(v_k)，使得(T(v_k) = w \neq 0)（否则(T)将所有基向量映射为0，(T)就是零算子，矛盾）。

接下来构造辅助算子：

• 取线性泛函(f \in V^*)（即(f: V \to \mathbb{F})，(\mathbb{F})是数域），满足(f(w) = 1)（因为(w \neq 0)，这样的泛函一定存在，比如对偶基中的对应元素）。
• 定义算子(S \in \mathcal{L}(V))：(S(v) = f(v)v_k)，这是一个线性算子。

根据题设，(E)对算子乘法封闭（左乘、右乘任意(\mathcal{L}(V))中的算子都封闭），因此(TS \in E)。计算(TS)的作用：
[
TS(v) = T(f(v)v_k) = f(v)T(v_k) = f(v)w
]
显然(TS)是秩1算子（它的值域是(\text{span}{w})，维度为1），所以(E)中存在秩1算子，记为(R = u \otimes f)（秩1算子的标准形式：((u \otimes f)(v) = f(v)u)，其中(u \neq 0)，(f \in V^*)且(f \neq 0)）。

第二步：证明(E)包含所有秩1算子 #

任取一个任意的秩1算子(S = x \otimes g)（(x \in V)，(g \in V^*)），我们要证明(S \in E)：

1. 因为(u \neq 0)，存在算子(C \in \mathcal{L}(V))使得(C(u) = x)（有限维空间中，总能构造算子把任意向量映射到目标向量）。根据封闭性，(CR \in E)，而：
   [
   CR(v) = C(f(v)u) = f(v)C(u) = f(v)x = (x \otimes f)(v)
   ]
   即(CR = x \otimes f \in E)。
2. 因为(f \neq 0)，存在算子(D \in \mathcal{L}(V))使得(g(v) = f(D(v)))（等价于(g = f \circ D)，这样的算子也存在，比如利用对偶基构造）。根据封闭性，((x \otimes f)D \in E)，而：
   [
   (x \otimes f)D(v) = (x \otimes f)(D(v)) = f(D(v))x = g(v)x = (x \otimes g)(v) = S(v)
   ]
   所以(S = (x \otimes f)D \in E)。

这就说明所有秩1算子都属于(E)。

第三步：证明(E = \mathcal{L}(V)) #

在有限维向量空间中，任意线性算子都可以表示为有限个秩1算子的和。比如，对任意(T \in \mathcal{L}(V))，设它在基(v_1, \dots, v_n)下的矩阵为((a_{ij}))，即(T(v_i) = \sum_{j=1}^n a_{ji}v_j)。取对偶基(f_1, \dots, f_n)（满足(f_i(v_k) = \delta_{ik})，即克罗内克函数），则：
[
T = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji} (v_j \otimes f_i)
]
而(E)是(\mathcal{L}(V))的子空间，对加法封闭，且所有秩1算子都在(E)中，因此(T)作为秩1算子的和也属于(E)。这就说明(\mathcal{L}(V) \subseteq E)，结合(E \subseteq \mathcal{L}(V))的题设，可得(E = \mathcal{L}(V))。

综上，(E)只能是({0})或(\mathcal{L}(V))。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mmm