如何用柯西序列定义证明序列\(a_n=\sum_{k=1}^n {(\arccos{1 \over k}+3k-1)\over(2k-1)^4}\)为柯西序列？

要证明一个序列是柯西序列，核心是紧扣柯西序列的定义：对于任意给定的 (\varepsilon>0)，总能找到一个正整数 (N)，使得当 (m,n > N) 且 (m > n) 时，(|a_m - a_n| < \varepsilon)。下面一步步拆解思路：

步骤1：转化 (|a_m - a_n|) 的形式 #

当 (m > n) 时，(a_m) 和 (a_n) 的差其实就是原求和式从第 (n+1) 项到第 (m) 项的部分和：
$$
|a_m - a_n| = \sum_{k=n+1}^m \frac{\arccos\left(\frac{1}{k}\right) + 3k - 1}{(2k-1)^4}
$$
我们的目标是对这个部分和做放缩，找到它的上界，进而证明这个上界可以小于任意给定的 (\varepsilon)。

步骤2：对通项进行放缩估计 #

观察通项的分子和分母，分别做如下有界性估计：

• 分子的上界：对于任意 (k \geq 1)，(\frac{1}{k} \in (0,1])，而反余弦函数在 ([0,1]) 上单调递减，因此 (\arccos\left(\frac{1}{k}\right) \leq \arccos(0) = \frac{\pi}{2})。由此分子可放缩为：
  $$
  \arccos\left(\frac{1}{k}\right) + 3k - 1 \leq \frac{\pi}{2} + 3k - 1 < 3k + \frac{\pi}{2}
  $$
• 分母的下界：对于任意 (k \geq 1)，(2k-1 \geq k)（(k=1) 时等号成立，(k \geq 2) 时 (2k-1 = k + (k-1) > k)），因此分母的四次方满足：
  $$
  (2k-1)^4 \geq k^4 \implies \frac{1}{(2k-1)^4} \leq \frac{1}{k^4}
  $$

结合两者，通项的上界为：
$$
\frac{\arccos\left(\frac{1}{k}\right) + 3k - 1}{(2k-1)^4} \leq \frac{3k + \frac{\pi}{2}}{k^4} = \frac{3}{k^3} + \frac{\pi}{2k^4}
$$

步骤3：利用收敛级数的余项性质 #

我们知道，p级数 (\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^p}) 当 (p>1) 时是收敛的。这里 (p=3) 和 (p=4) 都满足条件，因此 (\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3}) 和 (\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}) 都是收敛级数。

收敛级数的一个关键性质是：它的余项（从第 (n+1) 项到无穷的和）会随着 (n) 的增大趋近于0：

• 对于任意 (\varepsilon>0)，存在正整数 (N_1)，当 (n > N_1) 时，(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^3} < \frac{\varepsilon}{6})；
• 同样存在正整数 (N_2)，当 (n > N_2) 时，(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^4} < \frac{\varepsilon}{\pi})。

取 (N = \max(N_1, N_2))，当 (m,n > N) 且 (m > n) 时：
$$
\begin{align*}
|a_m - a_n| &\leq \sum_{k=n+1}^m \left( \frac{3}{k^3} + \frac{\pi}{2k^4} \right) \
&\leq 3\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^3} + \frac{\pi}{2}\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^4} \
&< 3 \cdot \frac{\varepsilon}{6} + \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{\pi} \
&= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\end{align*}
$$

结论 #

根据柯西序列的定义，序列 ({a_n}) 是柯西序列。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者clueless