求助：利用雅可比三重积公式求解单侧极限问题

你选雅可比三重积公式作为突破口完全正确！咱们一步步拆解，解决你遇到的双向求和（负无穷部分）的障碍：

步骤1：拆分雅可比三重积的双向求和 #

首先，把公式里的无穷求和拆成非负项和负项两部分：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}znq^{n2} = \sum_{n=0}^{\infty}znq^{n2} + \sum_{n=-\infty}^{-1}znq^{n2}$$
对负项求和做变量替换：令 $k=-n$，当n从$-\infty$到$-1$时，k从$1$到$+\infty$，代入后负项求和变为：
$$\sum_{n=-\infty}^{-1}znq^{n2} = \sum_{k=1}^{\infty}z{-k}q^{k2}$$
所以双向求和可以改写为：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}znq^{n2} = \sum_{n=0}^{\infty}znq^{n2} + \sum_{n=1}^{\infty}z{-n}q^{n2}$$

步骤2：关联目标级数与双向求和 #

令目标级数为 $S(x) = \sum_{n=0}^{{+\infty}(-1)}{n}x^{n2}$，我们构造对应的双向级数：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)n x^{n2} = S(x) + \sum_{n=1}^{\infty}(-1){-n}x^{n2}$$
注意到 $(-1)^{-n}=(-1)n$（因为$(-1)$的负整数次幂等于它本身），而$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)n x^{n2} = S(x) - 1$（减去S(x)中n=0的项1）。代入后可得：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)n x^{n2} = S(x) + (S(x)-1) = 2S(x)-1$$
这一步直接把我们要的$S(x)$和雅可比三重积的左边绑定了！

步骤3：套用雅可比三重积公式并化简 #

把$z=-1$、$q=x$代入雅可比三重积公式的右边：
$$\prod_{n\geq 0}(1-x^{{2n+2})(1+(-1)x}{2n+1})(1+(-1)^{-1}x{2n+1})$$
化简后两个因子：$1+(-1)x^{2n+1}=1-x{2n+1}$，$1+(-1)^{-1}x{2n+1}=1-x^{2n+1}$，所以乘积变为：
$$\prod_{n\geq 0}(1-x^{2n+2})(1-x{2n+1})^2$$

步骤4：求$x\rightarrow1^-$时的极限 #

现在我们需要计算这个乘积在$x\rightarrow1^-$时的极限，这里可以结合泊松求和公式辅助分析：
根据泊松求和公式，$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n) = \sum_{k=-\infty}^{{\infty}\hat{f}(k)$，其中$\hat{f}$是$f(t)=(-1)}t x^{t2}$的傅里叶变换。当$x\rightarrow1^-$时，$x{t^2}=e{-t^{2\ln(1/x)}$，令$\alpha=\ln(1/x)$（$\alpha\rightarrow0}+$），计算傅里叶变换后会发现，只有$k=0$的项在$\alpha\rightarrow0^+$时不趋近于0，但最终整个双向级数的极限为0：
$$\lim_{x\rightarrow1^{-}\sum_{n=-\infty}}{\infty}(-1)^n x^{n2}=0$$

结合步骤2的关系式$2S(x)-1=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)n x^{n2}$，两边取极限：
$$2\lim_{x\rightarrow1^-}S(x)-1=0$$
解得：
$$\lim_{x\rightarrow1^-}S(x)=\frac{1}{2}$$

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