证明定义在ℝ²上的分段函数f在(0, y₀)处连续
你想用复合函数连续性来证明这个分段函数的连续性，思路方向是对的，但你选的$n(x)=c^{1/x}$存在一个小问题——这里的$c$其实是随$x$变化的$xy$，并不是固定常数，直接当成常数处理会有逻辑漏洞，咱们调整一下思路，两种方法帮你搞定这个证明：
方法一：重构复合函数，利用连续函数的复合性质
首先回忆重要极限：$\lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t} = e$，而且指数函数$u(t)=e^t$是全局连续的。我们可以把$x≠0$时的$f(x,y)$改写为：
$$f(x,y) = e^{\frac{\ln(1+xy)}{x}}$$
接下来拆分连续复合链：
- 内层函数：当$(x,y) \to (0,y_0)$时，$xy \to 0 \cdot y_0 = 0$，而$\ln(1+t)$在$t=0$处连续，因此$\ln(1+xy) \to \ln(1+0)=0$；
- 中间函数：对固定的$y_0$，当$x \to 0$时，利用等价无穷小$\ln(1+t) \sim t$（$t \to 0$），可得：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+xy_0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{xy_0}{x} = y_0$$
这说明当$(x,y) \to (0,y_0)$时，$\frac{\ln(1+xy)}{x}$的极限是$y_0$； - 外层函数：$e^u$在$u=y_0$处连续，因此$\lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln(1+xy_0)}{x}} = e^{y_0}$，正好等于$f(0,y_0)$的定义值。
通过这样的复合函数连续性推导，就能得出$f(x,y)$在$(0,y_0)$处的极限等于函数值，即函数在该点连续。
方法二：用$\epsilon-\delta$定义直接证明
我们需要验证：对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，当$\sqrt{x2+(y-y_0)2}<\delta$时，$|f(x,y)-f(0,y_0)|<\epsilon$。
分两种情况讨论：
当$x=0$时：$|f(x,y)-f(0,y_0)|=|e^y - e{y_0}|$，由于$ey$在$y_0$处连续，因此存在$\delta_1>0$，当$|y-y_0|<\delta_1$时，该差值小于$\epsilon$；
当$x≠0$时：将$f(x,y)$变形为$e^{\frac{\ln(1+xy)}{x}}$，则：
$$|f(x,y)-e{y_0}|=e{y_0}\left|e^{\frac{\ln(1+xy)}{x} - y_0} - 1\right|$$
利用不等式：当$|t|<1$时，$|e^t - 1| \leq 2|t|$，我们先控制指数部分的绝对值：
$$\frac{\ln(1+xy)}{x} - y_0 = \frac{\ln(1+xy) - xy}{x}$$
当$|xy|<\frac{1}{2}$时，$\ln(1+xy)-xy$的泰勒展开为$-\frac{(xy)^2}{2} + \frac{(xy)^3}{3} - \dots$，因此$|\ln(1+xy)-xy| \leq (xy)^2$（因为$1-|xy|>\frac{1}{2}$，分母的影响可以忽略）。若我们让$|y-y_0|<1$，则$|y| \leq |y_0|+1$，进而：
$$\left|\frac{\ln(1+xy)}{x} - y_0\right| \leq |x| \cdot |y|^2 \leq |x|(|y_0|+1)^2$$现在取$\delta = \min\left(\delta_1, 1, \frac{\epsilon}{2e{y_0}(|y_0|+1)2}\right)$，当$\sqrt{x2+(y-y_0)2}<\delta$时：
- 若$x=0$，显然满足条件；
- 若$x≠0$，$|x|<\delta$且$|y-y_0|<\delta<1$，此时$\left|\frac{\ln(1+xy)}{x} - y_0\right| < \frac{\epsilon}{2e{y_0}}$，代入不等式可得$|et -1|<2|t|<\frac{\epsilon}{e{y_0}}$，因此$|f(x,y)-e{y_0}|=e{y_0}|et-1|<\epsilon$。
两种方法都能严谨地证明$f(x,y)$在$(0,y_0)$处的连续性，你可以根据自己的习惯选择其中一种~
内容的提问来源于stack exchange，提问作者D.C. the III
