含x+y<1约束的多元分布：求P(X+Y<1/2)的积分上下限疑问

我来帮你搞清楚怎么确定这个二重积分的上下限——其实核心就是先把要积分的有效区域搞明白，然后拆解成x和y的取值范围就行，咱们一步步来：

首先，联合概率密度$f(x,y)$只有在$0<x<1$、$0<y<1$且$x+y<1$时才等于$24xy$，其他区域密度都是0。我们要求的是$P(X+Y<\frac{1}{2})$，所以实际需要积分的区域是原密度有效区域和事件$X+Y<\frac{1}{2}$区域的交集。

因为$\frac{1}{2}<1$，所以$x+y<\frac{1}{2}$自动满足$x+y<1$，因此交集区域可以简化为：

$0<x<1$，$0<y<1$，$x+y<\frac{1}{2}$

再进一步提炼：x和y都得大于0，且两者之和小于$\frac{1}{2}$，所以x最大只能到$\frac{1}{2}$（否则y会小于等于0，不符合要求），同理y最大也只能到$\frac{1}{2}$。

我们可以选两种积分顺序，结果完全一致，你挑顺手的来就行：

方式一：先对y积分，再对x积分 #

1. 先定x的取值范围：
   结合$y>0$和$x+y<\frac{1}{2}$，x必须满足$0 < x < \frac{1}{2}$（如果x≥$\frac{1}{2}$，y就会≤0，不满足y>0的条件）。
2. 对每个固定的x，定y的范围：
   y需要同时满足$y>0$和$y < \frac{1}{2} - x$（从$x+y<\frac{1}{2}$变形而来）。这里$\frac{1}{2}-x$在$x∈(0,\frac{1}{2})$时是正数，且小于1，所以不需要额外考虑$y<1$的限制。因此y的范围是$0 < y < \frac{1}{2} - x$。

对应的积分式子就是：
$$
P(X+Y<\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{2}-x} 24xy , dy , dx
$$

方式二：先对x积分，再对y积分 #

1. 先定y的取值范围：
   同理，结合$x>0$和$x+y<\frac{1}{2}$，y的范围是$0 < y < \frac{1}{2}$。
2. 对每个固定的y，定x的范围：
   x需要同时满足$x>0$和$x < \frac{1}{2} - y$，所以x的范围是$0 < x < \frac{1}{2} - y$。

对应的积分式子就是：
$$
P(X+Y<\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{2}-y} 24xy , dx , dy
$$

如果要计算结果，拿方式一举例：
先算内层对y的积分：
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}-x} 24xy , dy = 24x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]{0}^{\frac{1}{2}-x} = 12x \cdot \left( \frac{1}{2} - x \right)^2
$$
展开$\left( \frac{1}{2} - x \right)^2 = \frac{1}{4} - x + x^2$，代入后得到：
$$
12x \cdot \left( \frac{1}{4} - x + x^2 \right) = 3x - 12x^2 + 12x^3
$$
再对x积分：
$$
\int{0}^{\frac{1}{2}} (3x - 12x^2 + 12x^3) dx = 3 \cdot \frac{(1/2)^2}{2} - 12 \cdot \frac{(1/2)^3}{3} + 12 \cdot \frac{(1/2)^4}{4}
$$
计算每一项后相加，最终得到结果$\frac{1}{16}$。

总结一下：确定上下限的核心就是先明确积分区域的所有边界条件，然后固定一个变量，找出另一个变量在该固定值下的合法取值范围，确保所有条件（比如x、y>0，x+y<1/2）都被满足。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathxx