哪些模恰有一个极大子模？诺特局部环上有限生成模何时满足该条件？

让我来逐个拆解这两个关于模的极大子模唯一性的问题，都是模论里的经典小问题：

首先明确一下定义：模$M$的真子模$N$是极大的，意思是找不到任何真子模$K$能夹在$N$和$M$之间（也就是$N \subsetneq K \subsetneq M$这种情况不存在）。

一个模$M$恰好只有一个极大子模，等价于下面几个条件同时成立：

• $M$不是单模（单模根本没有真子模，自然也谈不上极大子模）；
• $M$的Jacobson根$J(M)$（所有极大子模的交集）正好就是这个唯一的极大子模；
• 商模$M/J(M)$是单模（毕竟极大子模对应的商模都是单模，这里只有一个极大子模，商模肯定是单的）。

这类模也被叫做局部模（local module），你可以把它理解成：整个模被一个“最大的真子模”“托着”，剩下的商部分是不可再拆分的单模。

举个具体例子：整数环$\mathbb{Z}$上的$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$（$p$是素数，$k \geq 2$），它的唯一极大子模就是$p\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$，完全符合条件；但$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$是单模，没有真子模，所以不算。

对于诺特局部环上的有限生成模，我们可以借助Nakayama引理和局部环的特性来简化分析：

首先，诺特局部环$R$的Jacobson根就是它唯一的极大理想$\mathfrak{m}$，而对于有限生成$R$-模$M$，有个基本结论：$M$的Jacobson根$J(M) = \mathfrak{m}M$。

结合第一个问题的结论，$M$恰有一个极大子模的等价条件可以转化为：

1. 商模$M/\mathfrak{m}M$是单$R$-模；
2. $M \neq \mathfrak{m}M$（如果$M = \mathfrak{m}M$，根据Nakayama引理，要么$M=0$，要么$M$是单模，这两种情况都没有极大子模）。

而$M/\mathfrak{m}M$其实是域$R/\mathfrak{m}$上的向量空间，单向量空间的意思就是维数为1。再用Nakayama引理推一步：如果$M/\mathfrak{m}M$是1维的，那必然存在一个元素$x \in M$，它在商模里的像就能生成整个向量空间，进而$x$就能生成整个模$M$——也就是说$M$是循环模。

不过要注意：循环模$R/I$（$I$是$R$的真理想）里，如果$I = \mathfrak{m}$，那$R/\mathfrak{m}$是单模，没有极大子模，不符合要求。所以最终的等价条件可以总结为：

$M$是循环模，且$M$不是单模（也就是$M \cong R/I$，其中$I$是$R$的真理想，并且$I \subsetneq \mathfrak{m}$）。

或者用向量空间维数来描述：$\dim_{R/\mathfrak{m}}(M/\mathfrak{m}M) = 1$，并且$\mathfrak{m}M \neq 0$。

举个例子：取$R = k[[x]]$（域$k$上的形式幂级数环，是典型的诺特局部环，极大理想$\mathfrak{m}=(x)$），模$M = (x^2) \subset R$，它是循环模（由$x^2$生成），$\mathfrak{m}M = (x^3) \neq 0$，它的唯一极大子模就是$(x^3)$，符合条件；而$R/\mathfrak{m} = k$是单模，没有真子模，就不符合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohammad Bagheri