特征2域中二次型与对称双线性型的双射失效问题

咱们先从特征≠2的情况回顾一下，为啥那会儿能有完美的双射：
当域的特征不是2时，给定二次型$q$，我们定义对称双线性型$b_q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)$；反过来，给定对称双线性型$b$，可以用$q(v)=\frac{b(v,v)}{2}$得到对应的二次型——因为特征≠2时，2是可逆元，这个除法完全合法。而且你可以验证，这两个操作是互逆的：把$q$转成$b_q$再转回去还是$q$，把$b$转成$q$再转成$b_q$还是$b$，所以是妥妥的双射。

但到了特征为2的域（比如$\mathbb{F}_2$），这事儿就彻底崩了，核心是两个原因：

1. 映射不是满射：有些对称双线性型根本对应不上任何二次型 #

在特征2的域里，$-1=1$，而且对任意$a\in k$都有$2a=0$。先看任意二次型$q$对应的$b_q$有个关键性质：
$$b_q(v,v)=q(v+v)-q(v)-q(v)=q(2v)-2q(v)$$
因为二次型是齐次二次的，$q(2v)=2^2q(v)=0$（毕竟特征2里2=0），同时$2q(v)=0$，所以所有$b_q$都满足$b_q(v,v)=0$对任意$v\in V$成立——换句话说，$b_q$是交错对称双线性型。

但特征2里存在对称双线性型不满足$b(v,v)=0$！比如取$k=\mathbb{F}_2$，$V=\mathbb{F}_2^2$，定义$b(v,w)=v_1w_1$（$v=(v_1,v_2),w=(w_1,w_2)$）。这个$b$显然是对称的，但取$v=(1,0)$时，$b(v,v)=1\times1=1\neq0$，所以它不可能是任何二次型$q$对应的$b_q$。这就说明，从二次型到对称双线性型的映射，像只是对称双线性型的一个真子集，根本做不到满射。

2. 映射不是单射：不同的二次型可能对应同一个$b_q$ #

还是拿特征2的域举例，比如取$q_1(v)=v_1^{2$，$q_2(v)=v_1}2+v_1$（同样在$\mathbb{F}_2^2$上）。这两个二次型显然不一样（比如$v=(1,0)$时，$q_1(v)=1$，$q_2(v)=1+1=0$），但它们对应的$b_q$完全相同：

• 计算$b_{q_1}(v,w)=(v_1+w_1)^2 -v_1^2 -w_1^2 =v_1^{2+2v_1w_1+w_1}2 -v_1^2 -w_1^2=0$（因为2=0）
• 计算$b_{q_2}(v,w)=[(v_1+w_1)^2+(v_1+w_1)] - [v_1^2+v_1] - [w_1^2+w_1] = (v_1^2+w_12 +v_1+w_1) -v_1^2 -v_1 -w_1^2 -w_1=0$

本质上，只要两个二次型差一个线性函数的平方（特征2里$a^{2=a$，所以线性函数的平方就是它本身），它们对应的$b_q$就会相同——因为特征2下$(l(v+w))}2=(l(v)+l(w))^2=l(v)2+l(w)^2$，这部分在计算$b_q$时会直接抵消掉。

总结一下，特征2时，原来的对应关系既不是单射也不是满射，自然就不是双射了。

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