量子力学作业疑问：波函数模平方|Ψ(x,t)|²的计算

问题背景 #

我在量子力学作业中需要求解波函数的模平方$|\Psi(x,t)|^2$，给定的波函数为：
$$
\begin{align}
\Psi(x,t)&=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[3\psi_1(x)e^{{-iE_1t/\hbar}-\psi_3(x)e}{-iE_3t/\hbar}\right],,\
&=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[3\sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)e^{-iE_1t/\hbar}- \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right)e^{-iE_3t/\hbar}\right]
\end{align}
$$

当前推导验证 #

我的计算步骤目前进行到这里：
$$
\begin{align}
|\Psi(x,t)|^2&=\Psi(x,t)\Psi(x,t),,\
&=\frac{1}{10}\left[3\psi_1(x)e^{{-iE_1t/\hbar}-\psi_3(x)e}{-iE_3t/\hbar}\right]^ \left[3\psi_1(x)e^{{-iE_1t/\hbar}-\psi_3(x)e}{-iE_3t/\hbar}\right],,\
&=\frac{1}{10}\left[3\psi_1^*(x)e{iE_1t/\hbar}-\psi_3^*(x)e{iE_3t/\hbar}\right] \left[3\psi_1(x)e^{{-iE_1t/\hbar}-\psi_3(x)e}{-iE_3t/\hbar}\right]
\end{align}
$$

先给你吃个定心丸：你当前的推导完全正确！需要补充的是，从波函数的具体形式能看出$\psi_n(x)$是实函数，所以$\psi_n^*(x)=\psi_n(x)$，这个性质能帮我们简化后续计算。

后续计算步骤 #

接下来我们一步步展开并化简这个乘积：

1. 展开括号内的乘积
   把两个括号逐项相乘，得到四项：
   $$
   \begin{align}
   &[3\psi_1 e^{iE_1t/\hbar}-\psi_3 e^{iE_3t/\hbar}][3\psi_1 e^{-iE_1t/\hbar}-\psi_3 e^{-iE_3t/\hbar}]\
   =&3\psi_1 e^{iE_1t/\hbar} \cdot 3\psi_1 e^{-iE_1t/\hbar} + 3\psi_1 e^{iE_1t/\hbar} \cdot (-\psi_3 e^{-iE_3t/\hbar}) + (-\psi_3 e^{iE_3t/\hbar}) \cdot 3\psi_1 e^{-iE_1t/\hbar} + (-\psi_3 e^{iE_3t/\hbar}) \cdot (-\psi_3 e^{-iE_3t/\hbar})
   \end{align}
   $$

2. 逐项化简
   利用复指数的运算规则$e^{i\alpha}e{-i\alpha}=1$，以及实函数的性质：

• 第一项：$9\psi_1^2 e^{{i(E_1-E_1)t/\hbar}=9\psi_1}2$
• 第二项：$-3\psi_1\psi_3 e^{i(E_1-E_3)t/\hbar}$
• 第三项：$-3\psi_1\psi_3 e^{i(E_3-E_1)t/\hbar}$
• 第四项：$\psi_3^2 e^{{i(E_3-E_3)t/\hbar}=\psi_3}2$

3. 合并干涉项
   第二项和第三项是共轭关系，用欧拉公式$e^{i\theta}+e{-i\theta}=2\cos\theta$合并，令$\Delta E=E_3-E_1$，则：
   $$-3\psi_1\psi_3\left[e^{-i\Delta Et/\hbar} + e^{i\Delta Et/\hbar}\right] = -6\psi_1\psi_3\cos\left(\frac{\Delta Et}{\hbar}\right)$$

4. 代入$\psi_n(x)$的具体形式
   把$\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{\pi x}{a}$和$\psi_3(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{3\pi x}{a}$代入，同时乘以$\frac{1}{10}$：
   $$
   |\Psi(x,t)|^2=\frac{1}{10}\left[9\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{\pi x}{a}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{3\pi x}{a}\right)^2 -6\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{\pi x}{a}\right)\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{3\pi x}{a}\right)\cos\left(\frac{(E_3-E_1)t}{\hbar}\right)\right]
   $$

5. 进一步化简平方项
   计算正弦函数的平方项：$\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}\right)^{2=\frac{2}{a}\sin}2\frac{n\pi x}{a}$，提取公共因子$\frac{2}{10a}=\frac{1}{5a}$后：
   $$
   |\Psi(x,t)|^{2=\frac{1}{5a}\left[9\sin}2\frac{\pi x}{a} + \sin^2\frac{3\pi x}{a} -6\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{3\pi x}{a}\cos\left(\frac{(E_3-E_1)t}{\hbar}\right)\right]
   $$

6. 可选：用三角恒等式简化
   如果作业要求更简洁的形式，可以用$\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$和积化和差公式$\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$继续化简，最终能得到不含乘积项的表达式：
   $$
   |\Psi(x,t)|^2=\frac{1}{5a}\left[5 - 5\cos\frac{2\pi x}{a} + 2\cos\frac{4\pi x}{a} -3\left(\cos\frac{2\pi x}{a}-\cos\frac{4\pi x}{a}\right)\cos\left(\frac{(E_3-E_1)t}{\hbar}\right)\right]
   $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Programmer