求解方程e^x=1.25(1+x)：Lambert W函数是否适用？有无精确解？

嘿，其实这个方程是可以用Lambert W函数写出精确解的，你之前可能没找到正确的变形方式，我来一步步给你推导～

首先把方程里的小数换成分数，方便变形：
[e^x = \frac{5}{4}(1+x)]

接下来我们把它转化为Lambert W函数的标准形式（Lambert W函数的定义是：若 (w e^w = z)，则 (w = W(z))）：

1. 两边同时乘以 (e^{-x})，得到：
   [1 = \frac{5}{4}(1+x)e^{-x}]

2. 两边乘以 (\frac{4}{5})，整理为：
   [\frac{4}{5} = (1+x)e^{-x}]

3. 为了凑出 (t e^t) 的形式，我们把右边的指数项调整一下：
   [\frac{4}{5} = (1+x)e^{-(1+x)+1} = e \cdot (1+x)e^{-(1+x)}]

4. 两边同时除以 (e)，得到：
   [\frac{4}{5e} = (1+x)e^{-(1+x)}]

5. 令 (u = -(1+x))，那么 (1+x = -u)，代入上式：
   [\frac{4}{5e} = -u \cdot e^{u}]

6. 两边乘以 (-1)，就得到了Lambert W函数的标准形式：
   [u e^u = -\frac{4}{5e}]

根据定义，(u = W\left(-\frac{4}{5e}\right))，再把 (u = -(1+x)) 代回去，解出 (x)：
[-(1+x) = W\left(-\frac{4}{5e}\right)]
[x = -W\left(-\frac{4}{5e}\right) - 1]

关于实解的说明 #

Lambert W函数在区间 (\left(-\frac{1}{e}, 0\right)) 内有两个实分支：

• 主分支 (W_0(z))：对应较小的那个实解（大约 (-0.543)）
• 负分支 (W_{-1}(z))：对应你用试错法找到的近似解 (0.824)

计算验证一下：

• 代入负分支 (W_{-1}\left(-\frac{4}{5e}\right) \approx -1.824)，则 (x = -(-1.824) -1 = 0.824)，和你的结果完全匹配。
• 代入主分支 (W_0\left(-\frac{4}{5e}\right) \approx -0.457)，则 (x = -(-0.457) -1 = -0.543)，这是另一个实解，你可以代入原方程验证它的正确性。

如果不借助Lambert W函数，这个方程没有初等函数形式的精确解，所以用Lambert W函数表示的就是它的精确解啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kael