利用控制收敛定理求解极限积分：寻找被积函数的控制函数

嘿，我来帮你搞定这个控制函数的选择，以及最终的积分计算！

首先，我们聚焦需要处理的积分：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{1+\tan^{n}x}dx$$

第一步：分析被积函数的极限行为 #

先明确被积函数$f_n(x) = \frac{1}{1+\tan^n x}$在区间$[0, \pi/3]$上的逐点极限：

• 当$x \in [0, \pi/4)$时，$\tan x < 1$，所以$\tan^n x \rightarrow 0$，此时$f_n(x) \rightarrow 1$；
• 当$x = \pi/4$时，$\tan x = 1$，$f_n(x) = \frac{1}{2}$，极限就是$\frac{1}{2}$；
• 当$x \in (\pi/4, \pi/3]$时，$\tan x > 1$，$\tan^n x \rightarrow +\infty$，此时$f_n(x) \rightarrow 0$。

第二步：寻找满足条件的控制函数 #

控制收敛定理要求我们找到一个在$[0, \pi/3]$上可积的函数$g(x)$，使得对所有$n \geq 1$，几乎所有$x \in [0, \pi/3]$都有$|f_n(x)| \leq g(x)$。

这里有个非常简单的选择：直接取$g(x) = 1$。理由如下：

• 对任意$x \in [0, \pi/3]$，$\tan^n x \geq 0$，所以分母$1+\tan^n x \geq 1$，因此$f_n(x) = \frac{1}{1+\tan^n x} \leq 1$；
• 常数函数$1$在有限区间$[0, \pi/3]$上的积分是$\frac{\pi}{3}$，显然有限（可积）。

这个控制函数完全满足控制收敛定理的要求，不需要复杂的分段构造，简单有效！

第三步：应用控制收敛定理计算极限 #

根据控制收敛定理，我们可以交换极限与积分的顺序：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi/3} f_n(x)dx = \int_{0}^{\pi/3} \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)dx$$

接下来计算右边的积分：

• 区间$[0, \pi/4)$上，极限函数为$1$，积分结果是$\pi/4 - 0 = \pi/4$；
• 单点$x=\pi/4$的积分值为$0$（单点测度为0，不影响结果）；
• 区间$(\pi/4, \pi/3]$上，极限函数为$0$，积分结果为$0$。

所以最终积分的极限就是$\pi/4$，代入你转化后的原极限：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sin^{n}x}{\sin{n}x+\cos^{n}x}dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$$
和已知结果完全一致！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Radu Bouaru