咨询含c₁,c₂,c₃与x₁,x₂,x₃的代数方程组求解方法

这个方程组其实对应3点高斯-勒让德求积公式的节点（$x_1,x_2,x_3$）和权重（$c_1,c_2,c_3$），专门用于近似计算区间$[-1,1]$上的定积分——它对最高5次的多项式积分是精确的，这正好匹配你给出的6个方程（对应多项式$1,x,x^2,x3,x^4,x5$的积分结果）。

步骤1：利用对称性简化变量 #

观察所有奇次幂的方程（第2、4、6个）右边都是0，这提示节点具有原点对称性：

• $x_3 = -x_1$，$x_2 = 0$（中间节点在原点）
• 权重对应对称：$c_3 = c_1$

把这些代入方程组，就能大幅减少变量数量：

1. 第一个方程：$c_1 + c_2 + c_1 = 2$ → $2c_1 + c_2 = 2$
2. 奇次幂方程（第2、4、6个）：代入后自动成立，无需再考虑
3. 第三个方程：$c_1x_1^2 + c_2 \cdot 0 + c_1x_1^2 = \frac{2}{3}$ → $2c_1x_1^2 = \frac{2}{3}$ → $c_1x_1^2 = \frac{1}{3}$
4. 第五个方程：$c_1x_1^4 + c_2 \cdot 0 + c_1x_1^4 = \frac{2}{5}$ → $2c_1x_1^4 = \frac{2}{5}$ → $c_1x_1^4 = \frac{1}{5}$

步骤2：求解简化后的组合方程 #

用第五个方程除以第三个方程，消去$c_1$：
$$\frac{c_1x_1^4}{c_1x_12} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} \implies x_1^2 = \frac{3}{5} \implies x_1 = \sqrt{\frac{3}{5}}, \quad x_3 = -\sqrt{\frac{3}{5}}$$

把$x_1^2 = \frac{3}{5}$代入$c_1x_1^2 = \frac{1}{3}$，得：
$$c_1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{3} \implies c_1 = \frac{5}{9}, \quad c_3 = \frac{5}{9}$$

再代入第一个简化后的方程$2c_1 + c_2 = 2$：
$$2 \cdot \frac{5}{9} + c_2 = 2 \implies c_2 = 2 - \frac{10}{9} = \frac{8}{9}$$

步骤3：验证结果 #

把所有值代回原方程组，所有方程都能满足：

• 奇次幂项的和因对称抵消为0
• 偶次幂项的和完全匹配给定的右边值

为什么矩阵法可能没成功？ #

你尝试的矩阵法大概率是把所有$c_1,c_2,c_3,x_1,x_2,x_3$作为变量直接构建线性方程组，但原方程组不是线性方程组（包含$x_i$的幂次项），所以普通的线性矩阵求解方法（如高斯消元）不适用。必须先利用对称性或正交多项式的性质，把非线性问题转化为线性问题后再求解。

另一种方法是利用勒让德多项式：3次勒让德多项式$P_3(x) = \frac{5x^3 - 3x}{2}$的根就是求积节点，解得$x=0, \pm\sqrt{\frac{3}{5}}$，再通过积分计算权重，结果和上面一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Corp. and Ltd.