自旋1/2粒子y方向量子态及斯特恩-盖拉赫实验相关态问询

1. 自旋1/2粒子在y方向的量子态 #

自旋1/2粒子在y方向的自旋本征态分为自旋向上（$\mid y_+\rangle$）和自旋向下（$\mid y_-\rangle$）两种，它们可以用大家更熟悉的z方向自旋本征态$\mid z_+\rangle$、$\mid z_-\rangle$展开，标准形式是：

• $\mid y_+\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\mid z_+\rangle+\frac{i}{\sqrt2}\mid z_-\rangle$
• $\mid y_-\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\mid z_+\rangle-\frac{i}{\sqrt2}\mid z_-\rangle$（你输入里的$\mid y_-\rangle$应该是被截断了，这是完整的标准表达式）

2. 未测量时y态粒子的状态分析 #

首先明确一点：在进行任何自旋测量之前，粒子的状态就是题目给出的叠加态$\mid\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\mid y_+\rangle+\frac{1}{\sqrt2}\mid y_-\rangle$。不过咱们可以把它转化为z方向本征态的形式，就能更清楚它的本质：

把$\mid y_+\rangle$和$\mid y_-\rangle$的展开式代入这个叠加态：
$$
\begin{align*}
\mid\psi\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\left(\frac{1}{\sqrt2}\mid z_+\rangle+\frac{i}{\sqrt2}\mid z_-\rangle\right)+\frac{1}{\sqrt2}\left(\frac{1}{\sqrt2}\mid z_+\rangle-\frac{i}{\sqrt2}\mid z_-\rangle\right)\
&=\frac{1}{2}\mid z_+\rangle+\frac{i}{2}\mid z_-\rangle+\frac{1}{2}\mid z_+\rangle-\frac{i}{2}\mid z_-\rangle\
&=\mid z_+\rangle
\end{align*}
$$
是不是很意外？这个看似是y方向本征态叠加的态，其实等价于z方向自旋向上的本征态。

不过要记住，在没做测量之前，这个态的表述是完全没问题的——它就是y方向两个自旋本征态的等权重叠加。只有当我们用SG装置测量z方向、x方向或者xz平面任意角度的自旋时，才会触发量子态的坍缩：

• 测量z方向自旋：会100%得到自旋向上的结果，因为它本质就是$\mid z_+\rangle$；
• 测量x方向自旋：把$\mid z_+\rangle$转化为x方向本征态$\mid x_+\rangle$、$\mid x_-\rangle$的叠加（$\mid z_+\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\mid x_+\rangle+\frac{1}{\sqrt2}\mid x_-\rangle$），所以得到向上和向下的概率各为50%；
• 测量xz平面某角度$\theta$的自旋：则需要用对应角度的自旋本征态展开$\mid\psi\rangle$，再计算各本征态的概率幅平方得到测量概率。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者isaac