求解同余方程$x^4+x^3-x-1\equiv0\bmod15$的方法咨询

嘿，我来帮你搞定这个同余方程的问题！你提到的模素数判断法在这里确实没法直接用来证无解（毕竟x=1确实是个通解），不过我们可以用中国剩余定理结合多项式因式分解来轻松找到所有解，步骤如下：

第一步：先因式分解原多项式 #

先把方程左边的多项式分解，简化后续计算：

x⁴ + x³ - x - 1 = x³(x+1) - 1(x+1) = (x³ - 1)(x+1) = (x-1)(x²+x+1)(x+1)

这样原方程等价于 ((x-1)(x+1)(x²+x+1)\equiv0\pmod{15})

第二步：利用中国剩余定理拆分模 #

因为15=3×5，且3和5互质，根据中国剩余定理，原方程的解等价于同时满足以下两个方程的解：

• ( (x-1)(x+1)(x²+x+1)\equiv0\pmod{3} )
• ( (x-1)(x+1)(x²+x+1)\equiv0\pmod{5} )

求解模3的方程 #

逐个验证因子为0的情况：

• 当 (x\equiv1\pmod{3}) 时，(x-1\equiv0)，满足方程；
• 当 (x\equiv-1\equiv2\pmod{3}) 时，(x+1\equiv0)，满足方程；
• 对于 (x²+x+1\equiv0\pmod{3})，代入x=0得1≠0，x=1得3≡0（已包含在第一个解里），x=2得7≡1≠0，无新解。

所以模3的解为：(x\equiv1,2\pmod{3})

求解模5的方程 #

同样验证因子：

• 当 (x\equiv1\pmod{5}) 时，(x-1\equiv0)，满足方程；
• 当 (x\equiv-1\equiv4\pmod{5}) 时，(x+1\equiv0)，满足方程；
• 对于 (x²+x+1\equiv0\pmod{5})，判别式(\Delta=1-4=-3\equiv2\pmod{5})，而模5的二次剩余是1、4，2不是二次剩余，因此该方程无解。

所以模5的解为：(x\equiv1,4\pmod{5})

第三步：合并解（中国剩余定理） #

现在我们需要把模3和模5的解组合起来，得到模15的解：

1. (x\equiv1\pmod{3}) 且 (x\equiv1\pmod{5}) → (x\equiv1\pmod{15})
2. (x\equiv1\pmod{3}) 且 (x\equiv4\pmod{5}) → 设(x=3k+1)，代入得(3k+1\equiv4\pmod{5}) → (k\equiv1\pmod{5}) → (x=3(5m+1)+1=15m+4) → (x\equiv4\pmod{15})
3. (x\equiv2\pmod{3}) 且 (x\equiv1\pmod{5}) → 设(x=3k+2)，代入得(3k+2\equiv1\pmod{5}) → (k\equiv3\pmod{5}) → (x=3(5m+3)+2=15m+11) → (x\equiv11\pmod{15})
4. (x\equiv2\pmod{3}) 且 (x\equiv4\pmod{5}) → 设(x=3k+2)，代入得(3k+2\equiv4\pmod{5}) → (k\equiv4\pmod{5}) → (x=3(5m+4)+2=15m+14) → (x\equiv14\pmod{15})

最终解 #

原方程的所有解为：(x\equiv1,4,11,14\pmod{15})

总结一下，当模是合数时，中国剩余定理是最常用的工具，先拆分到素数模求解，再合并；另外先对多项式因式分解能大幅简化计算，避免逐个代入验证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者chloe loughan