如何证明集合$A := \left \{ x \in \mathbb{R}^d : \parallel x\parallel_{1} \leq 1 \right \}$为闭集

嘿，我来帮你理清楚怎么证明这个集合是闭集～先明确我们要处理的集合：
$$A := \left { x \in \mathbb{R}^d : \parallel x\parallel_{1} \leq 1 \right }$$
这是d维实数空间里的L₁单位球（也叫曼哈顿球），下面给你几种实用的证明思路，你可以根据自己熟悉的闭集定义来选：

方法一：用闭集的序列收敛定义 #

闭集的核心定义之一是：如果集合中任意收敛序列的极限仍属于该集合，那么它是闭集。具体步骤如下：

• 取任意序列${x_n}_{n=1}^\infty \subset A$，也就是对每个n，都满足$\parallel x_n\parallel_1 \leq 1$；同时假设这个序列在$\mathbb{R}^d$中收敛到点$x$（有限维空间里所有范数等价，不管用L₁还是欧几里得范数判断收敛，结果都是一样的）。
• L₁范数是连续函数（有限维空间上的所有范数都具备连续性），所以有$\lim_{n\to\infty} \parallel x_n\parallel_1 = \parallel \lim_{n\to\infty} x_n\parallel_1 = \parallel x\parallel_1$。
• 因为每个$\parallel x_n\parallel_1$都不超过1，数列的极限不会超过数列的上界，所以$\parallel x\parallel_1 = \lim_{n\to\infty} \parallel x_n\parallel_1 \leq 1$，也就是$x \in A$。
• 这就满足了闭集的序列定义，因此A是闭集。

方法二：利用连续函数的原像性质 #

这个方法更简洁，关键是记住两个拓扑基本结论：

• 有限维空间上的范数是连续函数；
• 闭集在连续函数下的原像仍然是闭集。
• 定义函数$f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$，$f(x) = \parallel x\parallel_1$，显然f是连续函数。而$\mathbb{R}$中的区间$(-\infty, 1]$是闭集，且$A = f^{-1}((-\infty, 1])$（也就是所有满足$f(x) \leq1$的x的集合）。
• 根据连续函数原像的性质，A必然是闭集。

方法三：利用闭集的交集性质 #

你提到知道“闭集的交集仍为闭集”，那我们可以把A拆成一系列闭集的交集：

• L₁范数的定义是$\parallel x\parallel_1 = |x_1| + |x_2| + ... + |x_d|$，其中$x=(x_1,x_2,...,x_d)$。
• 我们可以把A表示为所有闭半空间的交集：对于每个组合$(a_1,a_2,...,a_d)$，其中每个$a_i \in {-1,1}$，集合$S_{a_1,...,a_d} = {x \in \mathbb{R}^d : a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_dx_d \leq 1}$是闭半空间（线性泛函是连续的，其原像为闭集）。
• 而$A = \bigcap_{(a_1,...,a_d) \in {-1,1}^d} S_{a_1,...,a_d}$，因为$\parallel x\parallel_1 \leq1$等价于对所有$a_i \in {-1,1}$，都有$a_1x_1+...+a_dx_d \leq1$。
• 闭集的任意交集都是闭集，所以A作为这些闭半空间的交集，自然是闭集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Viktor Raspberry